Ejercicio de vectores coordenados y cambio de base

¡Menudo ejercicio! Cada apartado podría ser una pregunta con todo el derecho del mundo. Te iré pidiendo que mandes de nuevo la pregunta unas cuantas veces porque todo de una vez es una pasada. Además tengo que estudiar, porque no está utilizando el lenguaje y notación que yo estudié, utiliza palabras y preposiciones distintas. Todo eso lo haré dentro de unas horas que ahora tengo que dejar el ordenador.

Hay dos bases de R2
B1 = {(1,3), (-1,2)}
B2 = {(0,1), (-2,3)}
y los vectores v=(3,4) w=(-4,5)

a) Coordenadas de v y w respecto B2.

Sean x, y las coordenadas de v en B2, entonces

x(0, 1) + y(-2, 3) = (3, 4)

0x - 2y = 3 ==> y = -3/2

x + 3y = 4 ==> x - 9/2 = 4 ==> x = 4 + 9/2 = 17/2

Las coordenadas de v son (17/2, -3/2)

Y ahora vamos con las coordenadas de w

x(0, 1) + y(-2, 3) = (-4, 5)

-2y = -4 ==> y = 2

x + 3y = 5 ==> x + 6 = 5 ==> x = 5-6 = 1

Las coordenadas de w son (1,2)

b) Lo que te decía, el lenguaje es algo raro, yo diría que es la matriz de transición de "B2 a B1".

Para hacer esto hay que calcular las coordenadas de la base origen en función de la base destino y esas coordenadas se colocan como columnas en la matriz de transición. Es decir, la base B2 en función de la B1. Poner (0, 1) y (-2, 3) como combinación lineal de (1, 3) y (-1, 2)

x(1, 3) + y(-1,2) = (0, 1)

x - y = 0 ==> x=y

3x + 2y = 1 ==> 3y+2y=1 ==> y=1/5 ==> x=1/5

Las coordenadas de (0,1) en B1 son (1/5, 1/5)

x(1, 3) + y(-1,2) = (-2, 3)

x-y=-2 ==> x = y-2

3x+2y=3 ==> 3(y-2)+2y=3 ==> 3y-6+2y=3 ==> 5y=9 ==> y=9/5 ==> x=9/5-2=-1/5

Las coordenadas de (-2, 3) en B1 son (-1/5, 9/5)

La matriz de transición de B2 a B1 está formada por estas dos coordenadas puestas en columna.

$$P_{B_2 \to B_1}=\begin{pmatrix}
1/5&-1/5\\
1/5&9/5
\end{pmatrix}$$

c) Determine las coordenadas de v y w respecto B1 utilizando la matriz de transición hallada ahora.

Para hallar las coordenadas de un vector en la base destino con una matriz de transición debemos multiplicar esta por las coordenadas del vector en la base origen

La base origen es B2, conocemos las coordenadas de v y w en B2 porque se calcularon en el apartado primero

$$v_{B_1}=
\begin{pmatrix}
1/5&-1/5\\
1/5&9/5
\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix}
17/2\\
-3/2
\end{pmatrix}=
\\
\begin{pmatrix}
(1/5)(17/2)+(1/5)(3/2)\\
(1/5)(17/2)-(9/5)(3/2)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
2\\
-1
\end{pmatrix}$$

$$v_{B_1}=
\begin{pmatrix}
1/5&-1/5\\
1/5&9/5
\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}=
\\
\begin{pmatrix}
1/5-2/5\\
1/5 +18/5
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-1/5\\
19/5
\end{pmatrix}$$

Y esto es todo de momento, no es que sea difícil pero no veas lo costoso que resulta usar el editor de ecuaciones. Entonces puntúa esta pregunta y mándala de nuevo para que conteste el resto de los ejercicios.