Existencia o no del limite direccional
Hola tengo la ecuación y*sin(pi/(por^2-y^2)), me pide que calcule utilizando como direccionales el haz de rectas adecuado para los puntos P(1,-1) y QUE(0,0), y también utilizar y=-x como direccional para los mismos puntos.
Resolví los límites (o creo que lo hice) pero ambos me dan que no existen. Es correcto? Igualmente me gustaría saber como justificarlo mejor
1 Respuesta
Entonces te piden que calcules el límite, supongo.
Vamos primero al punto P(1,-1)
$$\begin{align}&\lim_{(x,y) \to(1,-1)}y·sen\left( \frac{\pi}{x^2-y^2}\right)=\\ &\\ &\text{Los límites direccionales por rectas (1,-1)+h(a,b) son}\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\;(-1+bh)·sen\left( \frac{\pi}{(1+ah)^2-(-1+bh)^2}\right)=\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\;(-1+bh)·sen\left( \frac{\pi}{2(a+b)h+(a^2-b^2)h^2}\right)\\ &\\ &\end{align}$$No existe límite direccional e ninguna dirección (a, b). Porque el denominador del seno tiende a cero con lo cual el paréntesis tiende a infinito, pero el seno no tiene límite en el infinito, siempre tomará cualquier valor entre -1 y 1. Y el seno estará multiplicado por -1 con lo cual los valores seguirán siendo indeterminados entre -1 y 1 y no hay límites laterales.
Y ahora al punto (0,0)
$$\begin{align}&\lim_{(x,y) \to(0,0)}y·sen\left( \frac{\pi}{x^2-y^2}\right)=\\ &\\ &\text{Los límites direccionales por rectas (0,0)+h(a,b) son}\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\;(bh)·sen\left( \frac{\pi}{(ah)^2-(bh)^2}\right)=\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\;bh·sen\left( \frac{\pi}{(a^2-b^2)h^2}\right)\\ &\\ &\end{align}$$Con respecto al límite de la función seno pasa lo mismo, va a tener un valor indeterminado entre -1 y 1. Pero ahora la diferencia es que el factor bh tiende a cero, con lo cual el producto tiende a cero y existen los límite laterales que son cero.
La recta y=-x te va a dar los mismos resultados. Si quieres usarla pon esos mismos límites con el valor b=-a y concretando más puedes utilizar a=1, b=-1 y tendrás los límites direccionales a través de ella. El resultado es que en (-1,1) no existe y en (0,0) es 0.
