Ejercicio sobre cónicas ( circunferencia)

Lo principal para poder resolver este problema es saber que dadas dos circunferencias tangentes, el punto de tangencia esta alineado con los centros de las circunferencias.

Vamos a conocer el centro de la circunferencia, eso se hace completando cuadrados

x^2+2x + y^2+6y + 5 =

(x+1)^2 - 1 + (y+3)^2 -9 + 5 =

(x+1)^2 + (y+3)^2 - 5 = 0

Y puesta en forma canónica (x-a)^2 + (y-b)^2 - R^2=0, el centro de la circunferencia es (a, b) luego el centro es:

(-1, -3)

Luego el centro de la circunferencia que nos piden estará en la recta determinada por los puntos

(-1, -3) y (1, -2)

Sea (a, b) el centro, pera pertenecer a esa recta se debe cumplir

(a+1)/(1-(-1)) = (b+3)/(-2-(-3))

(a+1) / 2 = (b+3) /1

a+1= 2b + 6

1) a - 2b = 5

Que esa circunferencia pase por (4, 1) nos ayudará a encontrar el centro.

Sea (a, b) el centro debe equidistar de los puntos (4, 1) y (1, -2). En vez de tomar la distancias tomamos los cuadrados de las distancia y nos ahorramos las molestas raíces cuadradas que no me gusta usar porque no se pueden dibujar.

(a-4)^2 + (b-1)^2 = (a-1)^2 + (b+2)^2

a^2 - 8a +16 + b^2 - 2b +1 = a^2 - 2a +1 + b^2 + 4b + 4

-6a - 6b +12 = 0

2) -a - b + 2 = -2

Las ecuaciones que ha marcado como 1) y 2) son las debo solucionar. Las he dejado así para resolver fácilmente sumándolas que nos dará

a - 2b - a - b = 5 - 2

-3b = 3

b=-1

y ahora calculamos a

a - 2(-1)= 5

a + 2 = 5

a = 3

Luego el centro es (a,b) = (3, -1)

Y ahora calculamos el radio (o el radio al cuadrado que es lo que necesitamos) calculando la distancia ( o el cuadrado de la distancia) a cualquiera de los puntos (4, 1) o (1, -2)

R^2 = (3-4)^2 + (-1-1)^2 = 1+4 = 5

La ecuación canónica es

(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

(x-3)^2 + (y+1)^2 = 5

Esa es la mejor forma de expresarla, pero si quieres poner la ecuación general operas y será

x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 5

x^2 + y^2 - 6x + 2y + 5 = 0

Y eso es todo.