Aplicar el teorema del valor medio

Espera, que lo que es complicadísimo es calcular la integral, ya que es una función que no admite una primitiva compuesta de funciones elementales. Pero hacer la acotación es sencillo.

El teorema del valor medio para la integral doble dice.

Sea f : D --> R una función continua siendo D un conjunto compacto y conexo de R^2 cuya frontera es la unión finita de grafos de funciones continuas. En estas condiciones existe al menos un punto (xo, yo) € D, tal que

$$\int\int_D f(x,y)dxdy = f(xo,yo)·S(D)$$

Siendo S(D) el área del recinto D

La función f(x,y) = e^(sen(x+y)) es continua en todo R^2

El recinto es un cuadrado de lada 2Pi que es un compacto ya que es cerrado y acotado. Y es conexo ya que es conexo por caminos, dados dos puntos hay camino continuo (una recta por ejemplo) enteramente contenido en D que los une.

Y la frontera se puede expresar como unión de 4 grafos continuos. Luego se cumplen todas las condiciones del teorema y la integral doble será el valor de la función en un punto del recinto por el área del recinto.

El área del recinto es (2Pi)=2 = 4Pi^2 luego

Integral doble = f(xo,yo)· 4Pi^2

f(xo,yo) = (1/(4Pi^2)]·(Integral doble)

Y la función sen(x+y) toma valores entre -1 y 1

Con lo cual la función f(x, y)= e^(sen(x, y)) toma valores entre e^(-1) y e^1

Como e^x es creciente el menor valor es e^(-1) y el mayor es e

Y f(xo, yo) será un valor comprendido entre ambos

Luego

e^(-1) <= (1/(4Pi^2)]·(Integral doble) <= e

Y eso es todo.