La función integrada de

La función e^(6x) tiene integral inmediata prácticamente, mientras que lnx debe integrarse por partes, no hay otra forma sencilla de hacerlo. Luego supongo que ahora ya habrás dado la integración por partes para poder hacer esta integral. Y para que no molesten los límites de integración haremos primera la integral indefinida y l final evaluaremos la definida

$$\begin{align}&\int(e^{6x}+lnx)dx = \int e^{6x}dx+\int lnx\,dx=\\ &\\ &\frac 16e^{6x}+ \int lnx\,dx =\\ &\\ &u=lnx\quad du = \frac{dx}{x}\\ &\\ &dv=dx\quad v=x\\ &\\ &\frac 16e^{6x}+x·lnx-\int dx=\\ &\\ &\frac 16e^{6x}+x·lnx-x\\ &\\ &\text {y ahora hacemos la evaluación entre 0 y 2}\\ &\\ &\frac 16 e^{12}+2·ln\,2-2-\frac 16=\\ &\\ &\frac 16 e^{12}+2·ln\,2-\frac{13}{6}=\\ &\\ &\frac 16(e^{12}-13)+2·ln\,2\approx 27125.0182\end{align}$$

Y eso es todo.