Demostraciones de conjuntos 3
para el paraboloide z=5-x²-y² demuestra que la superficie superior es un conjunto conexo
1 respuesta
Una de las propiedades de las funciones continuas es que transforman conjuntos conexos en conjuntos conexos
Tomemos esta función de R2 en R3
f: R2 ---> R3
(x, y) ---->(x, y, 5-x^2-y^2)
Es una función continua.
Por superficie superior imagino que se refiere a la superficie superior al eje z.
La superficie superior se obtiene cuando
5 - x^2 - y^2 > 0
-5 + x^2 + y^2 < 0
x^2 + y^2 < 5
Esto es el interior de un círculo centrado en (0, 0) de radio raíz de 5.
En algún ejercicio anterior ya se ha visto que es círculo abierto es un conjunto conexo
Luego la superficie superior del paraboloide es la imagen por f continua de un conjunto conexo y por lo tanto esa superficie es un conjunto conexo.
Y eso es todo.
