Anónimo
Calculo Integral... Ayuda
Un granjero desea cercar 60 000 pies cuadrados de terreno con forma rectangular, uno de cuyos lados limita una carrera. Si la cerca a lo largo del camino cuesta $1.00 (dolar) por pie y el resto cuesta $0.50 por pie, cuanto de cada tipo de cerca debe comprar el granjero para hacer que sus gastos sean minimos?
1 respuesta
El rectángulo tendrá unas dimensiones a y b.
Llamemos a al lado que limita con el camino
Tenemos
a·b = 60000
b = 60000/a
Y el coste de la cerca es
coste = a + 0,5(a+2b) = a + 0,5a + b = 3a/2 + b = 3a/2 + 60000/a
En matemáticas se prefieren los fraccionarios a los decimales, por eso puse 3/2 en lugar de 1,5.
Luego tenemos el coste en fusión solo del lado a
coste(a) = 3a/2 + 60000/a
Y como siempre derivaremos respecto a "a" e igualaremos a cero
coste '(a) = 3/2 - 60000/a^2
0 = 3/2 - 60000/a^2
60000/a^2 = 3/2
3a^2 = 60000·2 = 120000
a^2 = 120000/3 = 40000
a = sqrt(40000) = 200 pies
Sabemos que va a ser un mínimo porque haciendo la cerca muy alargada se gasta más, pero para asegurarnos que lo es podemos ver el signo de la derivada segunda.
coste''(a) = 60000/a^4
Que es siempre positivo y por tanto en 200 también y por lo tanto es mínimo.
Si el lado mide 200 pies, el lado b medirá
b=60000/a = 60000/200 = 300 pies
Y la compra debe ser
200 pies de cerca de 1$
200+300+300 = 800 pies de cerca de 0,5$
Y eso es todo.