Calculo Integral... Ayuda

Un granjero desea cercar 60 000 pies cuadrados de terreno con forma rectangular, uno de cuyos lados limita una carrera. Si la cerca a lo largo del camino cuesta $1.00 (dolar) por pie y el resto  cuesta $0.50 por pie, cuanto de cada tipo de cerca debe comprar el granjero para hacer  que sus gastos sean minimos? 

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El rectángulo tendrá unas dimensiones a y b.

Llamemos a al lado que limita con el camino

Tenemos

a·b = 60000

b = 60000/a

Y el coste de la cerca es

coste = a + 0,5(a+2b) = a + 0,5a + b = 3a/2 + b = 3a/2 + 60000/a

En matemáticas se prefieren los fraccionarios a los decimales, por eso puse 3/2 en lugar de 1,5.

Luego tenemos el coste en fusión solo del lado a

coste(a) = 3a/2 + 60000/a

Y como siempre derivaremos respecto a "a" e igualaremos a cero

coste '(a) = 3/2 - 60000/a^2

0 = 3/2 - 60000/a^2

60000/a^2 = 3/2

3a^2 = 60000·2 = 120000

a^2 = 120000/3 = 40000

a = sqrt(40000) = 200 pies

Sabemos que va a ser un mínimo porque haciendo la cerca muy alargada se gasta más, pero para asegurarnos que lo es podemos ver el signo de la derivada segunda.

coste''(a) = 60000/a^4

Que es siempre positivo y por tanto en 200 también y por lo tanto es mínimo.

Si el lado mide 200 pies, el lado b medirá

b=60000/a = 60000/200 = 300 pies

Y la compra debe ser

200 pies de cerca de 1$

200+300+300 = 800 pies de cerca de 0,5$

Y eso es todo.

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