Derivada de función por partes
Dada la función en partes:
-x^2+4x+4 si x<=4
f(x)
ax+b si x>4
Hallar los valores de a y b para que la función sea derivable en x=4
1 respuesta
En el punto 4 el limite que da lugar a la derivada se calcula con una función por la izquierda y otra por la derecha, el límite debe coincidir par que haya derivada.
La derivada por la izquierda es
f '(x) = -2x +4
f '(4) = -2·4 + 4 = -4
y por la derecha es
f '(x) = a
f'(-4) = a
luego para que coincidan debe ser
a=4
Pero esto no es suficiente, aunque las tangentes por la izquierda y derecha tengan el mismo ángulo podría haber un salto de la función, debemos adaptar b para que la fusión sea continua
lim de f(x) x-->4- es -4^2+4·4 + 4 = 4
lim de f(x) x-->4+ es a·4+b = 4·4 + b = 16 + b
para que coincidan y la función sea continua
16+b = 4
b = -12
Luego los valores son
a=4
b=-12
Y eso es todo.
Tengo dudas con signos según yo te da a=-4 y b=20?
Si que tienes razón. Hice mal la igualación, si había dicho que la derivada por la izquierda era -4 y por la derecha era a, entonces debía ser
a=-4
con los cual el límite de f(x) por la derecha era
a·4+b = -4·4 + b = -16 + b
que debía ser igual al límite por la izquierda que era 4
-16 + b = 4
b = 20
Luego es a=-4 y b=20 como decías.
Pues disculpa porque ya es la segunda vez que tengo un fallo contigo en pocos días. No sé si achacarlo a la gran cantidad de preguntas que estoy contestando estos días o a la mala vista que tengo, que la tengo muy mala.
