Método de Gauss o de eliminación (1).

Si. Pondremos la matriz asociada a la ecuación y mediante operaciones de filas haremos ceros debajo de la diagonal principal.

  2  2  2 | 4.5
  4  6  3 |12
  6  9  7 |20
La primera por (-2) se suma a la segunda
y la primera por (-3) se suma a la tercera
  2  2  2 | 4.5
  0  2 -1 | 3
  0  3  1 | 6.5
La segunda por (-3/2) se suma a la tercera
  2  2  2    | 4.5
  0  2 -1    | 3
  0  0 1+3/2 | 6.5 - 3·(3/2)
  2  2  2  | 4.5
  0  2 -1  | 3
  0  0 5/2 | 2

Y ya dejamos las matrices, es suficiente

De la última ecuación deducimos

(5/2)z = 2

z = 2·2/5 = 4/5

Ahora vamos a la segunda

2y - 4/5 = 3

2y = 3 + 4/5 = (15+4)/5 = 19/5

y = (19/5) / 2 = 19/10

Y ahora vamos a la primera

2x + 38/10 + 8/5 = 4.5

2x = 4.5 - 38/10 - 8/5 = 9/2 - 38/10 - 8/5 = (45 - 38 -16)/10 = -9/10

x = -(9/10) / 2 = -9/20

Luego si no me he confundido la solución es

x = -9/20

y = 19/10

z = 4/5

He comprobado con el ordenador que está bien

Y eso es todo.