Pregunta 3 de calculo integral

Antes de nada se simplifica la función quedando
(z^2)(cotx)^6 =
La cotangente no se suele usar luego hacemos
z^2/(tgz)^6
o
(z^2)cos^6(z)/sen^6(z)
Es una integral que se puede expresar con funciones elementales. Las funciones trigonométricas y polinómicas se llevan fatal tanto en las integrales como en las ecuaciones, dando integrales o ecuaciones irresolubles.
Ya te doy algún paso si acaso pero ahora no tengo tiempo.

Mejor dejaremos
$(z^2)cot^6(z)dz
Es una integral para hacer por partes, dos veces por partes. Lo que pasa es que nos saldrá la
$ln(senz)dz
que es la que no se puede integrar.
Para ayudarnos en la integración primero expresaremos de esta forma la derivada de la cotangente
cot'(z) = [-sen^2(z) - cos^2(z)] /sen^2(z) = -[1+cot^2(z)]
haremos
u = z^2   ==> du = 2zdz
dv = cot^6(z) dz  ==> v = hay que calcularlo
Ahora hacemos el truco
v = $cot^6(z)dz = $[cot^6(z) + cot^4(z) - cot^4(z) - cot^2(z) + cot^2(z) +1]dz - $1dz =
$-[1+cot^2(z)][-cot^4(z) + cot^2(z) -1] dz - $dz =
Ahora el cambio de variable en la primera
t = cot(z)
dt = -[1+cot^2(z)]dz
Nos conduce fácilmente a
$(-t^4 + t^2 -1)dt - $dz =
-(t^5)/5 +(t^3)/3 - t - z =
-(1/5)cot^5(z) + (1/3)cot^3(z) - cot(z) - z
Ya calculado v tendremos
$(z^2)cot^6(z)dz =
(z^2)[-(1/5)cot^5(z) + (1/3)cot^3(z) - cot(z) - z] - $2z[-(1/5)cot^5(z) + (1/3)cot^3(z) - cot(z) -z]dz
Y la integral que queda hay que hacerla por partes y usar técnicas similares. El problema será que donde antes quedó el 1 que se integraba aparte, ahora quedará cot(z) cuya integral es ln(sen(z)), pero eso habrá que volver a integrarlo de nuevo y no tiene integral expresable como combinación de funciones elementales. Necesita de una función especial que se llama "li sub 2" y que aun no he averiguado qué relación exacta tiene con la integral logarítmica o exponencial.
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_integral
Es muy lioso lo que queda de la integral. Te escribo la respuesta que me da Derive por si quieres hacerlo, yo me fio de lo que dice porque yo no voy a hacerla, continué algo más de lo que he escrito y ya se complicaba mucho y lo dejé:
(46/15)z·ln(senz) - (1/5)(z^2)cot^5(z) - (1/10)z·cot^4(z) + (1/30)(10z^2 - 1)cot^3(z) + (8/15)z·cot^2(z) +(1/30)(19-30z^2)cot(z) - (1/3)z^3 - (46/15)$ln(senz)dz
Y según la calculadora integral en línea y teniendo en cuenta log = logaritmo neperiano la respuesta de
$log(sin(z) = -(z*log(sin(z)^2+cos(z)^2+2*cos(z)+1) + z*log(sin(z)^2+cos(z)^2-2*cos(z)+1) + 2*%i*z*atan2(sin(z),cos(z)+1) - 2*%i*z*atan2(sin(z),1-cos(z))-2*z*log(sin(z)) - 2*%i*li[2](%e^(%i*z))-2*%i*li[2](-%e^(%i*z))-%i*z^2)/2
mejor si vas tu al link de abajo y ves el resultado escrito en forma normal y legible.  Y encima he tenido que poner espacios en el resultado porque el capullo del corrector ortográfico no se conforma con machacar las equis, que encima decía que había muchas letras seguidas sin espacios y no me dejaba mandar la respuesta. Más le valdría no controlar nada y todo iría mucho mejor.
http://es.numberempire.com/integralcalculator.php
Y eso es todo. Espero que te sirva y que lo hayas entendido. Sigo sin saber de donde salen estas integrales, no puedo creer que te las hagan hacer a mano. Pero ya tienes un sitio donde creo que podrás comprobar si pueden hacerse o no. Acabo de descubrir esto de la calculadora integral.

No parecía una integral tan complicada, pero si esta hubiera sido una pregunta de mi examen seguro que no lo hacia, no te lo exijo, sino me harías un favor muy grande el terminar de desarrollar esa integral, porque parece que se llega a otra expresión que considero irresoluble, la cual creo que da lo mismo, porque no se llego a una integral sencilla o conocida, pero yo creo que el camino es por tu me mencionas porque no encuentro otra alternativa, y es la mejor, me sorprendió tu artificio.
Un saludo.