¿Cómo solucionar el siguiente limite?
Alguien tan amable me puede ayudar a resolver el siguiente límite si usar la regla de l'hopital:
x---->0 (1-cosx)/(tg²x) el resultado tiene que ser 1/2
En un foro tube la siguiente respuesta:
Puedes proceder directamente Como conoces 1-cosx=2sen²(x/2). Como tan²x=sen²x/cos²x=(4sen²(x/2)cos²(x/2))/…? Cuando divides la expresión anterior por esta ultima obtendrás 1/(2)cos²(x/2)cos²x. Y el limite de esta función en cero es 1/2.
El primer paso esta claro 1-cosx=2sen²(x/2).
El segundo paso no me queda claro alguien me lo puede aclarar tan²x=sen²x/cos²x=(4sen²(x/2)cos²(x/2))/…?
Pasos
Solamente necesito que alguien me aclare el segundo paso y
1 respuesta
Es mucho más sencillo que todo eso.
(1-cosx) / tg^2(x) =
(1-cosx)/(sen^2(x)/cos^2(x)) =
(1-cosx)cos^2(x) / sen^2(x) =
(1-cosx)cos^2(x) / (1-cos^2(x)) =
(1-cosx)cos^2(x) / [(1+cosx)(1-cosx)] =
cos^2(x) /(1+cosx)
Y ahora ya
lim x-->0 de cos^2(x) / (1+cosx) = 1/(1+1) = 1/2
Creo que entenderás todos los pasos por eso no los explico, sino pregúntame lo que no entiendas.
Ah bueno!
Con el método que te decían sería:
1-cosx = 2sen^2(x/2)
Que no es que esté tan claro, pero es verdad
La otra fórmula que necesitas, es más elementales que esa:
senx = 2sen(x/2)cos(x/2)
Con todo eso la expresión te queda:
2sen^(x/2) / { [4sen^2(x/2)cos^2(x/2)] / cosx} =
2sen^(x/2)cosx / 4sen^2(x/2)cos^2(x/2) =
2cosx / 4cos^2(x/2)
Y el limite de eso cuando x tiende a cero es
2/4 = 1/2
Yo usaría el método anterior porque no necesita fórmulas trigonométricas más complicadas.
Hola experto gracias por tu respuesta ha sido muy clara . Ya que me acabas de ilustrar otra forma de solucionar el problema de forma inmediata.
