Ayuda con demostración matemática
sean
$$A,B\subset \mathbb{R}$$y
$$f: A \times B\rightarrow \mathbb{R}$$acotada ¿ es cierto que
$$\begin{align}&sup{f(x,y) \vert (x,y) \in A \times B} = sup [{sup{ f(x,y) \vert x \in A} \vert y \in B}]\\ &\end{align}$$o lo que es lo mismo, usando una notación diferente,
$$\mathrm{sup}_{(x,y)\in A\times B} f(x,y) = \mathrm{sup}_{y \in B} (\mathrm{sup}_{x\in A} f(x,y))?$$
1 respuesta
Tiene todas las pintas de ser verdad.
Sea (x,y) € AxB y tomamos f(x,y)
dejando y fijo tendremos f(x,y)<= Sup{f(x,y) | x€A}
Y a su vez ese supremo es menor que o igual que el supremo del conjunto de los supremos cuando se hace y variable, porque el ser un simple elemento de ese conjunto sera menor o igual que el supremo de ese conjunto.
f(x,y) <= Sup{f(x,y)|x€A} <=Sup{Sup{f(x,y)|x€A} | y€B}
Luego Sup{Sup{f(x, y)|x€A} | y€B} es una cota superior del conjunto de los f(x, y) y será mayor o igual que el supremo de este conjunto
Sup {f(x,y) | x€A, y€B} <= Sup{Sup{f(x,y)|x€A} | y€B}
Para abreviar llamemos S1 al supremo de la izquierda y S2 al de la derecha. Se cumple
S1 <= S2
Supongamos que hubiera desigualdad estricta S1 < S2
Sea e = S2 - S1
existira un y tal que Sup{f(x,y)|x€A} > S2 - e/2
ya que si no S2 - e/2 sería una cota superior de {Sup{f(x,y)|x€A} | y€B} menor que S2 y eso sería absurdo.
Una vez obtenido ese y sea S3 = Sup{f(x,y)|x€A}
se cumple S2 - e/2 < S3 <= S2
y habra un x tal que f(x,y) > S3 - e/2
Ya que si no S3 - e/2 sería una cota superior de {f(x, y)|x€A} menor que S3 y eso sería absurdo
Luego habrá un (x,y) tal que
S3-e/2 < f(x,y)
Y arriba teníamos S2 - e/2 < S3 luego S2-e/2-e/2 < S3-e/2 que si lo encadenamos nos queda
S2-e/2-e/2 < S3-e/2<f(x,y)
S2- e <f(x,y)
Y S2-e era S1 por definición
S1<f(x,y)
Lo cual es absurdo porque S1 es el supremo de los f(x, y)
El absudo venía de suponer la desigualdad estricta, luego lo que tiene que darse es la igualdad
S1=S2 que con la conveniente traducció es lo que pedía el enunciado
Sup {f(x,y) | x€A, y€B} = Sup{Sup{f(x,y)|x€A} | y€B}
Una cosilla sobre Latex. He visto que te faltaban los corchetes, si escribes
\{
\}
Te aparecerán los corchetes.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Un poco lioso si que es, la verdad.
