Reparametrizacion de curvas en el espacio.

Ya he visto donde estaba. Sabía lo que era una reparametrización pero no me acordaba de las condiciones que se exigían.

3) Sea f: I de R ---> R^n un camino regular. Y sea phi: J de R ---> I una función sobreyectiva de clase C1 y con phi '(s) distinto de 0 para todo s € J. Entonces es camino

F* = f o phi: J de R ----> R^n se llama reparametrización del camino f (el cual también resulta ser regular.

f: [-1,1] ---> R^n

phi: [-1, 1] ----> R

phi(s) = 2s^2 - 1

Debemos comprobár si phi cumple las condiciones de la definición.

Lo primero es ver que

phi: [-1,1] ----> [-1, 1] es sobreyectiva

phi(s) = 2s^2 - 1

sea y €[-1,1] veamos si existe s tal que phi(s) = y

2s^2 -1 = y

2s^2 = y+1

s^2 = (y+1)/2

s = sqrt[(y+1)/2]

existe ese valor s ya que si y €[-1,1] entonces y+1 € [0,2] luego (y+1)/2 € [0,1] y finalmente s = sqrt[(y+1)/2] € [0,1]

Ahora veamos que phi(s) es de clase C1, la función 2s^2+1 es continua de toda la vida y la derivada es 4s que también es continua, luego phi es de clase C1

Y finalmente debería ser phi '(s) distinto de cero para todo s € [-1,1], pero esto no se cumple, ya que

phi '(s) = 4s

phi '(0) = 4·0 = 0

Luego phi no produce una reparametrización del camino f.

6) Aquí no se puede escribir la f con la barra encima, por eso usaré F como la reparametrización de f

F(s) = (f o phi)(s) = f[phi(s)]

Derivamos el miembro de la izquierda y el de la derecha. En el de la derecha aplicaremos la regla de la cadena

F '(s) = f '[phi(s)] · phi '(s)

F '(s) = (2·phi(s) , 3·[phi(s)]^2 +3])· phi '(s) =

F '(0) = (2·phi(0) , 3·[phi(0)]^2 + 3]) · phi '(0) =

(2 · 1/2 , 3(1/2)^2 + 3) · 2 =

(1, 3/4 + 3) ·2 =

(1, 15/4) · 2 =

(2, 15/2)

7) Este problema parece de bastante entidad.

Y eso es todo.