Matrices aplicación lineal ayuda

Vaneyanez 1!

Tendremos que hallar la imagen de una base de P3, tomaremos la canónica

F(1)   = 1  1
         0  1
F(t)   = 0  1
         0 -1
F(t^2) = 0  0
         1  0
F(t^3) = 0  0
        -1 0

Las coordenadas de estas imágenes respecto la base canónica de M2x2 son

F(1) = (1,1,0,1)

F(t) = (0,1,0,-1)

F(t^2) = (0,0,1,0)

F(t^3) = (0,0,-1,0)

Y la matriz de la aplicación se forma con estas coordenadas puestas en columnas

    (1   0   0   0)
    (1   1   0   0)
M = (0   0   1  -1)
    (1 -1 0 0)

Las coordenadas de la imagen serán todas las combinaciones lineales de las coordenadas las imágenes de la base de P3

Vemos que las coordenadas de F(t^2) y F(t^3) son linealmente dependientes una de las dos no aporta nada, luego el conjunto imagen es

(a  a+b)
(c  a-b)  para todo a,b,c € R
Si llamamos d=a+b se puede expresar así
(A d )
(C 2a-d) para todo a, c, d € R

que deja más a las claras que se pueden tomar tres parámetros con total libertad y en 4 depende de los anteriores, cono lo cual la dimensión del subespacio imagen es 3.

Y el núcleo es el subespacio cuya imagen es el vector nulo.

Tomaríamos la ecuación matricial

MX=0

Y habría que calcular X

Arriba tienes la matriz M. Si a la cuarta fila le sumas la segunda queda

2 0 0 0

y si a esta le restas 2 veces la primera queda

0 0 0 0

Luego la cuarta ecuación sobra, con las tres primeras se puede calcular el núcleo que será un subespacio de dimensión 1

De la primera se deduce x=0

con eso en la segunda se deduce y=0

y en la tercera se deduce z - w = 0 ==> z=w

Luego los polinomios del núcleo son

KerF = {at^2 + at^3 | para todo a € R}

Bueno he supuesto R el cuerpo, pero si no es ese pon aquí el cuerpo de P3 y arriba donde la imagen el cuerpo de M2x2

Y eso es todo.