Utilice criterios adecuados para determinar si la siguiente integral es convergente o divergente

Con las restas de raíces puede servir multiplicar por la suma

$$\begin{align}&\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt x}{\sqrt x}=\\ &\\ &\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt x)(\sqrt{x+1}+\sqrt x)}{\sqrt x (\sqrt{x+1}+\sqrt x)}=\\ &\\ &\frac{x+1-x}{\sqrt x (\sqrt{x+1}+\sqrt x)}=\\ &\\ &\frac{1}{\sqrt x (\sqrt{x+1}+\sqrt x)}=\\ &\\ &\frac{1}{x+\sqrt{x^2+x}}\\ &\\ &\text{Ahora compararemos esta función con}\frac 1x\\ &\\ &\frac{\frac{1}{x+\sqrt{x^2+x}}}{\frac 1x}=\frac{x}{x+\sqrt{x^2+x}}=\\ &\\ &\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac 1x}}\\ &\end{align}$$

Cuando x tiende a infinito el límite de eso es finito, luego las dos funciones convergen o divergen simultáneamente en la integral impropia con limite en el infinito, Y la integral de 1/x es lnx que tiene valor infinito en el infinito y por la tanto no es convergente.

Esta función tiene integral impropia también en el extremo izquierdo, pero no se compensa el área infinita de la parte derecha porque ambas son positivas y la integral total es infinita.

Y eso es todo.