La suma de riemman de la función

La longitud del intervalo es 1, luego el paso es 1/n. La suma Riemman será:

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac 1n\left[\left(3+\frac{i}{n}\right)^3-7\right]=\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to \infty}\frac 1n\sum_{i=0}^{n-1}\left(27+\frac{27i}{n}+\frac{9i^2}{n^2}+\frac{i^3}{n^3}-7\right)=\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to \infty}\frac 1n\sum_{i=0}^{n-1}\left(20+\frac{27i}{n}+\frac{9i^2}{n^2}+\frac{i^3}{n^3}\right)=\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to \infty}\frac{20n}{n}+\lim_{n \to \infty}\frac{27}{n^2}\sum_{i=0}^{n-1}i+\lim_{n \to \infty}\frac{9}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1}i^2+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^4}\sum_{i=0}^{n-1}i^3=\end{align}$$

La suma de los n-1 primeros números naturales ya sabemos que es

n(n-1+0)/2 = (n^2-n) / 2

y lo que importa es que el limite en el infinito de eso entre n^2 es 1/2

Se puede comprobar por inducción la fórmula de los libros o internet de la suma de los cuadrados

S(n) = 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1) / 6

que para n-1 será

S(n-1) = (n-1)n(2n-1) / 6

Lo único que nos interesa para el limite

lim n-->oo [(n-1)n(2n-1) / 6] / n^3

Es el coeficiente de mayor grado de la suma de cuadrados que es (1/3)n^3 los otros términos son despreciables.

por lo tanto el límite es

lim n-->oo S(n-1)/n^3 = 1/3

Y con dificultad creciente se puede demostrar que

lim n -->oo [1+2^k+3^k + (n-1)^k] / [n^(k+1)] = 1/k

Y aplicando esto a la suma de Riemman tenemos

20 + 27/2 + 9/3 + 1/4 = (240+162+36+3)/12 = 441/12 = 147/4

Y puede comprobarse que está bien

$$\begin{align}&\int_3^4(x^3-7)dx = \left[\frac{x^4}{4}-7x  \right]_3^4=\\ &\\ &\\ &\frac{256}{4}-28-\frac{81}{4}+21 =\frac{175}{4}-7=\\ &\\ &\\ &\frac{175-28}{4}=\frac{147}{4}\end{align}$$

Y eso es todo.