Resolver la siguiente ecuación diferencial exacta.

Si, lo más lógico es que sea eso.

$$\begin{align}&\frac{dy}{dx} =- \frac{y(2x^3 - y^3)}{x(2y^3 - x^3)}\\ &\\ &\text {hacemos el cambio } y=ux\\ &\frac{dy}{dx}= \frac{du}{dx}x+u\\ &\\ &\frac{du}{dx}x+u =\frac{ux(2x^3-u^3x^3)}{x(2u^3x^3-x^3)}=\frac{u(2-u^3)}{2u^3-1}\\ &\\ &\\ &\frac{du}{dx}x=\frac{u(2-u^3)}{2u^3-1}-u=\frac{2u-u^4-2u^4+u}{2u^3-1}\\ &\\ &\\ &\frac{du}{dx}x= \frac{-3u^4+3u}{2u^3-1}\\ &\\ &\frac{2u^3-1}{-3u^4+3u}du =\frac{dx}{x}\end{align}$$

Voy a respirar un poco. Esa integral no es sencilla ni mucho menos.

$$\begin{align}&\frac{2u^3-1}{-3u^4+3u}= -\frac 13\left(\frac{a}{u}+ \frac{b}{u-1}+\frac{cu+d}{u^2+u+1}  \right)=\\ &\\ &-\frac 13\left(\frac{a(u-1)(u^2+u+1)+bu(u^2+u+1)+(cu+d)u(u-1)}{u^4-u}  \right)\\ &\\ &para\; u=1\implies3b =1\implies b=\frac 13\\ &\\ &para \;u=0\implies -a=-1\implies a=1\\ &\\ &para \;u=2\implies 7+\frac {14}3+4c+2d=15\implies 4c+2d=\frac{10}3\\ &\\ &Para\; u=-2\implies -9-2-12c+6d=-17\implies-12c+6d=-6\\ &\\ &12d=4 \implies d = \frac 13\\ &-12c+2 =-6 \implies c=\frac 23\end{align}$$

Esto ha sido bastante complicado yo no sé como os ponen estos problemas

Y la integral será

$$\begin{align}&\int \frac{2u^3-1}{-3u^4+3u}du=\\ &\\ &\\ &-\frac 13\int \left(\frac{1}{u}+\frac{1}{3(u-1)}+\frac{2u+1}{3(u^2+u+1)}  \right)du\\ &\\ &-\frac{ln\,u}{3}- \frac{ln(u-1)}{9}-\frac{ln(u^2+u+1)}{9}\\ &\\ &\text {la solución es}\\ &\\ &-\frac{ln\,u}{3}- \frac{ln(u-1)}{9}-\frac{ln(u^2+u+1)}{9}=ln\,x+C\end{align}$$

Y te dejo a ti que sustituyas u=y/x y hagas las operaciones que falten. Son ecuaciones tan difíciles que no se puede comprobar si están bien.