Explicación Ejemplo Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Una pregunta solo puede tener un ejercicio, más tratándose de un ejercicio de matemáticas superiores. Te hago el primero y si quieres los otros los mandas en sendas preguntas.

Son ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes de segundo orden.

Tendrás toda la teoría que es larga y que resumida viene a decir:

Dada una ecuación lineal homogénea de segundo orden, si hallamos dos soluciones linealmente independientes y1, y2, la solución general es

y = C1·y1 + C2·y2 con C1 y C2 constantes arbitrarias.

Si además los coeficientes son constantes intentaremos una respuesta del tipo

y1=e^(kx)

Sea la ecuación

y'' + py' + q = 0

Si

y1=e^(kx)

entonces

y1' = ke^(kx)

y1'' = (k^2)e^(kx)

luego

k^2e^(kx) + pke^(kx) + qe^(kx) = 0

Como e^(kx) es distinto de cero tenemos

k^2 + pk + q = 0

A esto se le llama ecuación característica. Debemos resolverla con la típica fórmula

k= [-p +- sqrt(p^2 -4q)]/2 de la ecuación de segundo grado.

i) Si las soluciones son reales y distintas: k1 y k2, perfecto. La solución de la ecuación diferencial es

y = C1·e^(k1·x) + C2·e^(k2·x)

ii) Si las soluciones son complejas serán conjugadas, luego son de la forma;

k1 = a + bi

k2 = a - bi

Y la solución es:

y = e^(ax)[C1·cos(bx) + C2·sen(bx)]

iii) Si la solución es real doble, k1, la solución es:

y = e^(k1x)[C1+C2·x]

Todas esas deducciones las tendrás en la teoría y no son difíciles, no es cuestión de andar copiándola.

Vamos ya con el ejercicio.

y"+4y'+10y=0

La ecuación característica es:

k^2 + 4k + 10 = 0

k = [-4 +- sqrt(16-40)] / 2 =

-2 +- sqrt(-24)/2 =

-2 +- sqrt(-6)=

-2 +- i·sqrt(6)

sqrt es raíz cuadrada por si no lo conocías.

Como las raíces son complejas usamos la fórmula ii)

y = e^(ax)[C1·cos(bx) + C2·sen(bx)]

y = e^(-2x) {C1·cos[sqrt(6)·x] + C2·sen[sqrt(6)·x]}

Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hayas entendido. No olvides puntuar y mandarme los otros dos ejercicios separados si necesitas que te los resuelva.