Ayuda con una EDO no homogénea

Hallamos primero la solución general de la homogénea. Para ella calculamos las raíces de la ecuación característica.

k^2 + 4k + 5=0

k = [-4 +- sqrt(16-20)] / 2 = (-4 +- 2i)/2 = -2 +- i

Son dos raíces complejas. La teoría dice que la solución general en este caso es

y = e^(ax)[A·cos(bx) + B·sen(bx)]

Donde A y B son constantes de integración y a y b son la parte real e imaginaria de las soluciones conjugadas.

Luego la solución general de la homogénea es

y = e^(-2x)(A·cosx + B·senx)

Uno de los métodos de hallar una raíz particular es probar con distintas funciones que dependen de cómo sea la función de la derecha. En este caso es polinomio de grado 0 por exponencial, se prueba con otro polinomio de grado por la exponencial

y = Ce^(-4x)

y' = -4Ce^(-4x)

y'' = 16Ce^(-4x)

Como debe cumplirse y''+4y'+5y=35e^(-4x)

e^(-4x) (C-16C+80C) = 35e^(-4x)

65C =35

C = 35/65 = 7/13

Luego la solución particular es

y= (7/13)e^(-4x)

Y la solución general de la ecuación completa es

y = e^(-2x)(A·cosx + B·senx) + (7/13)e^(-4x)