Problema de álgebra elemental

Un venado lleva una ventaja inicial de 60 dé sus saltos a un león. El venado da cuatro saltos mientras el león da tres, pero el león en cinco saltos avanza tanto como el
Venado en ocho. ¿Cuántos saltos debe dar el león para alcanzar al venado?
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1
Es un problema interesante.
Lo primero será caracterizar todas las variables de nuestro problema:
Número de saltos del venado: x
Número de saltos del león: y
Longitud del salto del venado: v
Longitud del salto del león: l
En principio tenemos 4 incógnitas, con lo que en teoría debemos buscar 4 ecuaciones ( aunque como veremos no podremos)
Leemos tranquilamente el enunciado:
"... El venado da cuatro saltos mientras el león da tres,.."
Esto quiere decir que la relación entre el número de saltos venado/león es de 4 a 3:
x/y=4/3
3x=4y
Ya tenemos una ecuación.
"... El león en cinco saltos avanza tanto como el venado en ocho..."
Es decir, en distancia:
5l=8v
Para sacar otra ecuación hemos de calcular la distancia recorrida por cada animal
Distancia: número de saltos*distancia de cada salto
1º venado: x saltos de distancia v
d1=x*v
2º león: y saltos de distancia l
d2=y*l
Estas distancias no son iguales, pues al llevar el venado una ventaja de 60 saltos suyos (60v), el león debe recorrer lo mismo que el venado más esos 60 saltos
d2=d1+60v
y*l=x*v+60v
Finalmente nos quedará el siguiente sistema:
3x=4y
5l=8v
y*l=x*v+60v
No podemos resolverlo completamente, pues tenemos 4 ecuaciones con 3 incógnitas, pero no hay forma de sacar otra ecuación del enunciado.
No importa, pues como sólo nos piden el número de saltos, podemos eliminar v y l
5l=8v
l=(8/5)v
que llevado a la tercera
y*(8/5)v=x*v+60v
eliminando la v
(8/5)y=x+60
Multiplicando por 5
8y=5x+300
5x-8y=-300
Nos queda pues el sistema
3x-4y=0
5x-8y=-300
Multiplicando la primera por 2 y restando
6x-8y=0
5x-8y=-300
------------
x=300
y sustituyendo en la primera
3*300-4y=0
4y=900
y=225
Es decir, el león da 225 pasos por 300 del venado
Lo que no podemos calcular son las distancias recorridas, v, l, pero sí el número de saltos, que es lo que nos pedían.
Respuesta
1
El problema que me propones es realmente simpático. Paso a exponerte la solución.
Defino las siguientes variables:
Para el león:
Fl: Frecuencia de salto del león (saltos/minuto)
Ll: Longitud de salto del león (metros/salto)
Lógicamente, fl*ll será la velocidad del león en su carrera (metros/minuto)
Para el venado:
Fv: Frecuencia de salto del venado (saltos/minuto)
Lv: Longitud de salto del venado (metros/salto)
Igualmente, fv*lv será la velocidad del venado en su carrera (metros/minuto)
La condición de que "el venado da cuatro saltos mientras el león da tres" se expresaría así:
4fl=3fv (1)
Mientras que la condición de que "el león en cinco saltos avanza tanto como el venado en ocho" sería así:
5ll=8lv (2)
Tomemos que el tiempo que tarda el león en alcanzar al venado es x. Pasado ese tiempo, la posición del venado respecto de donde estaba el león al principio sería:
60lv + x*fv*lv
Es decir, la ventaja que le lleva (60lv) más la distancia que le ha dado tiempo a recorrer en ese tiempo x.
Por otra parte, el león habrá recorrido en dicho tiempo x:
x*fl*ll
Para que lo alcance, ambas distancias deben ser las mismas, así:
60lv + x*fv*lv=x*fl*ll (3)
Pasamos ahora a operar:
dividiendo (3) entre lv queda:
60 + x*fv=x*fl*(ll/lv) (4)
Sin embargo, sabemos a partir de (2) que
5ll=8lv ---> ll/lv=8/5
por lo que sustituyendo ese cociente en (4) queda
60 + x*fv=x*fl*(8/5) (5)
pasando todo a la izquierda y sacando factor común a la x queda:
60 + x*(fv-fl*(8/5))=0 (6)
También sabemos, a partir de (1) que:
4fl=3fv ---> fv=(4/3)*fl
sustituyendo esto en 6 y sacando factor común a fl queda lo siguiente:
60 + x*((4/3)-(8/5))*fl=0 (7)
operando aquí, sale:
60-(4/15)*x*fl=0 (8)
y despejando la x resulta:
x=225/fl
Este sería el tiempo que tardaría el león.
Sin embargo, lo que nos piden es el "número de saltos que debe dar el león", no el tiempo que tarda.
Para ello, aprovechamos que si el león da fl saltos/minuto, en dar un salto tardará 1/fl minutos.
Dividiendo el tiempo entre lo que tarda en dar un único salto resulta el número de saltos que debe dar el león en x minutos:
Saltos del león=(225/fl)/(1/fl) =225
Es decir, el león deberá dar 225 saltos para alcanzar al venado. Realmente, mirando el lado realista y teniendo en cuenta los documentales que ponen en la televisión, yo creo que no "fabrican" leones que sean capaces de dar tantos saltos sin perder el resuello.
Bueno, espero que te quede claro... y que llegue a tiempo.
Un abrazo desde Madrid.
Valora la respuesta. Tengo un montón de preguntas sin valorar.
Respuesta
1
Si v es la longitu del salto del vendao y l la del salto del león, y llamados ES al número de saltos del león para alcanzar al venado, podemos transcribir así las condiciones:
Sl = (60 + 4t)v
t = 3l/Sl = 3/S
5l = 8v
Donde t es el número de unidades de tiempo (grupos de tres saltos del león = grupos de 4 saltos del venado) necesarios para alcanzar el león al venado.
==>
Substituyendo:
Sl = (60 + 4(3/S))v
Sl = 60v + 12v/S
S^2l = 60vS + 12v
Substituimos con l = (8/5)v
(8/5)S^2v - 60Sv - 12v = 0
Se van las v's:
(8/5)S^2 - 60S - 12 = 0
Ecuación de segundo grado, cuya solución positiva será el resultado.
S = 60 +- (raiz (60^2+4(8/5)12)) / (2(8/5)) = 37.70 saltos aproximadamente.
Luego en 38 saltos el león ya ha sobrepasado al venado.
Perfecto es claro que esa es la respuesta, perdona lo inconvenientes pero yo también cometía esos errores y lo único que me faltaba era plantear el problema, muchas gracias.
La distancia de salto del león es mayor es por eso que se dice que cada 5 saltos del león equivalen a 8 del venado es decir, como vas planteando tu, en cada unidad de tiempo es ovio que el león da tres saltos y el venado da 4, pero cada 5 saltos del león son iguales a 8, si la primera proporción la multiplicamos por (2/2) tenemos (3/4)*(2/2)=(6/8) que es una proporción equivalente a la primera y que nos dice en otras palabras que en ocho saltos del venado, el león da seis, pero con la rela cion de distancia tenemos que el león ya alcanza al venado en el quinto salto y entonces recorre una distancia demás que le servirá para poder alcanzar al venado en una cantidad grande de saltos, es decir las dos proporciones dadas nos ayudan al resolver el problema no solo una ¿pero cómo?
En muchos problemas de números enteros se pueden utilizar los números reales y luego tomar la parte entera o la parte entera más uno como solución, como es en este caso, para que el león sobrepase al venado.
La solución que dí está mal porque tomé mal las velocidades y el tiempo t está mal calculado. La velocidad del venado es 8v (no 4v) y la del león 5l (no 3l), pues en la misma unidad de tiempo (y escogemos esta como unidad de tiempo, por conveniencia) estos son los saltos que dan cada uno.
El tiempo t es el tiempo que tarda el león en alcanzar al venado desde la posición inicial con la ventaja dada. Como el león va a velocidad constante, esta cantidad será igual a espacio por tiempo, cualquiera que se consideren. Consideremos entonces t y el espacio recorrido será entonces Sl, luego 5l = Sl /t, De donde t = S/5.
Las ecuaciones son:
Sl = (60 + 8t)v
t = S/5
5l = 8v
Substituyendo t = S/5 y l = (8/5)v en la primera ecuación resulta:
S(8/5)v = (60 + 8(S/5))v
Se cancelan las v's:
S(8/5) = 60 + 8(S/5) = 60 + (8/5)S
Luego 0 = 60
Esto significa que el león no puede dar nunca alcance al venado.
Se hubiera llegado más rápido a esta conclusión si calculamos la velocidad del león en función de la distancia v:
velocidad león = 5l = 5(8/5)v = 8v = velocidad venado
Van a la misma velocidad y es imposible que el léon alcance al venado (o lo haría infinitas veces).
Si te das cuenta, en el problema no plantean una relación en saltos y es ovio que cada animal da 1 salto a la vez y no podría dar 1 salto y algo más es por eso que la solución a la pregunta solo puede ser un número entero, además se debe tomar en cuenta que el venado continua avanzando en el momento en que el león trata de tomarle alcance, la verdad que es un problema difícil pero espero que mis aclaraciones sirvan para que me puedas dar una respuesta a esta pregunta que me tiene casi rendido.
A ver, estaba bien al principio. Lo único que estaba mal era el cálculo de t:
Sl = (60 + 4t)v
t = Sl/3l = S/3
5l = 8v
Substituyendo:
S(8/5)v = (60 + 4S/3)v
Se cancelan las v's:
S(8/5) = (60 + 4S/3)
S(8/5 - 4/3) = 60
S(4/15) = 60
S = 60*15/4 = 225 saltos
Como sale entero, no hace falta redondearlo hacia arriba.

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