Derivar la función

Voy a intentarlo con sustitución trigonométrica, espero no volverme loco. Primero completaré cuadrados

x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 -9 + 13 = (x-3)^2 + 4

$$\begin{align}&x-3=2tgt\\ &dx=2sec^2t\,dt\\ &t=arctg\left( \frac{x-3}{2}\right)\\ &\\ &\\ &= \int \frac{2sec^2t}{\sqrt{4tg^2t+4}}dt=\\ &\\ &\\ &\int \frac{sec^2t}{sect}dt=\\ &\\ &\int sect\, dt= \int \frac{dt}{cost}\\ &\\ &z= tg \frac t2\\ &\\ &dt=\frac {2dz}{1+z^2}\\ &\\ &cost=\frac{1-z^2}{1+z^2}\\ &\\ &=\int \frac{1}{\frac{1-z^2}{1+z^2}}\frac{2}{1+z^2}dz=\\ &\\ &\int \frac{2}{1-z^2}dz=\\ &\\ &\int\left(   \frac{1}{1+z}+\frac{1}{1-z} \right)dz=\\ &\\ &ln|1+z|-ln|1-z|+C =\\ &\\ &ln\left|1+tg \frac t2  \right|- ln\left|1-tg \frac t2  \right|+C=\\ &\\ &\end{align}$$

Y se sustituye t por su valor y queda una integral que no merece la pena seguir.

Las integrales donde hay una raíz cuadrada de x^2 + algo se resuelven con funciones hiperbólicas, es la mejor forma y yo diría que única, con las sustituciones trigonométricas te metes en un laberinto del que no puedes salir.