Anónimo
Determinar polinomio taylor función
hola, como determino el polinomio de 2o grado de la función f(x) =e^x cos(x), en x=0.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Todo lo que hay que hacer es usar la fórmula de Taylor:
$$\begin{align}&p(x)=f(a)+\frac{f´(a)}{1!}(x-a)+\frac{f´´(a)}{2!}(x-a)^2+ ...\\ &\\ &\text{En forma compacta:}\\ &\\ &p(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\end{align}$$Calcularemos los valores de f y sus derivadas primera y segunda en x=0
f(0) = e^0·cos0 = 1·1 = 1
f'(x) = e^x·cosx - e^x·senx
f'(0) = 1·1 - 1·0 = 1 - 0 = 1
f''(x) = e^x·cosx - e^x·senx - e^x·senx - e^x·cosx = -2e^x·senx
f''(0) = -2·1·0 = 0
Y con esto datos la formula queda
$$\begin{align}&p(x) = f(0)+f´(0)(x-0)+\frac{f´´(0)}{2!}(x-0) =\\ &\\ &1 + 1x +\frac{0}{2!}x^2 = 1+x\end{align}$$Luego el polinomio de Taylor es
p(x) = 1+x
No aparece el término de grado 2 porque el coeficiente es cero
Y eso es todo.