La integralde la función
Halla el volumen
generado al girar la región acotada por las curvas dadas alrededor del eje y
de:
Y=x^2, y=0,
x=1, x=2
Realiza un
bosquejo de la región calculada
Saludos
1 Respuesta
Por fin un ejercicio alrededor del eje Y.
La fórmula es:
$$V=\pi\int_{y_0}^{y_1}g(y)dy$$Como ves la función debe ponerse en función de y, es decir x=g(y). Si nos dan la función de x tenemos que calcular la inversa de esa función. Y los límites no son líneas verticales sino horizontales.
Esta es la gráfica coloreada la zona que engendra el volumen. La división en dos se debe al giro en torno al eje Y, si fuera en torno al eje X no hubiera hecho falta. Las funciones de y involucradas son tres, la primera se obtiene despejando x en la función y las otras dos son las rectas verticales
x=sqrt(y)
x=1
x=2
Y los límites involucrados en y son 0, 1, 4
El volumen es este
$$\begin{align}&V=\pi\int_0^1(2^2-1^2)dy +\pi\int_1^4 \left[2^2-(\sqrt y)^2\right]dy=\\ &\\ &\\ &\pi\int_0^13dy +\pi\int_1^4(4-y)dy=\\ &\\ &\\ &\pi·\left.3x \right|_0^1+\pi\left[4x-\frac{x^2}{2} \right]_1^4\\ &\\ &\\ &\pi\left(3+16-8-4+\frac 12\right)=\\ &\\ &\\ &\pi\left(7+\frac 12 \right)= \frac{15}{2}\pi\end{align}$$Y eso es todo.
La inercia puede con todo. Acostumbrado a integrar siempre respecto de x puse la integral como función de x en v ez de y.
$$\begin{align}&V=\pi\int_0^1(2^2-1^2)dy +\pi\int_1^4 \left[2^2-(\sqrt y)^2\right]dy=\\ &\\ &\\ &\pi\int_0^13dy +\pi\int_1^4(4-y)dy=\\ &\\ &\\ &\pi·\left.3y \right|_0^1+\pi\left[4y-\frac{y^2}{2} \right]_1^4\\ &\\ &\\ &\pi\left(3+16-8-4+\frac 12\right)=\\ &\\ &\\ &\pi\left(7+\frac 12 \right)= \frac{15}{2}\pi\end{align}$$No afectaba al resultado pero no era correcto.
