Ecuaciones diferenciales

Buenos días.
Soy estudiante de Ingeniería informática y tengo 2 ejercicios de diferenciales que no tengo muy claros.
Le agradecería mucho su colaboración.
1) Resolver. Xy' = y
2) (4xy^2+3y)dx+(3x^2+2x)dy = 0
Dar prueba si es exacta y si no lo es encontrar el factor de integración.
3) Aplicar la "prueba de separabilidad" y concluir si es separable o no. Si es separable resolver.
F(x,y)=x^2+xy+y^2
Mil gracias de antemano
Respuesta
1
1º x*y'=y
siendo y'=dy/dx
x*(dy/dx)=y
x*dy=y*dx
dy/y=dx/x
Integrando
Int[dy/y]=Int[dx/x]
Lny=Lnx + cte
poniendo cte=LnC -->
Lny=Lnx+LnC=Ln(C*x)
Quitando logaritmos
y=C*x
Comprobación
y'=C
x*y'=x*C=C*x=y
2º (4xy^2+3y)dx+(3x^2+2x)dy = 0
Para que una ecuación de la forma
M*dx+N*dy=0
sea exacta ha de cumplirse que
DM/Dy=DN/Dx-->Derivadas parciales
En nuestro caso
M=4x*y^2+3*y
DM/Dy=8*x*y+3
N=3*x^2+2*x
DN/Dy=6*x+2
No son iguales con lo cual no es exacta.
Un factor integrante es una función que depende de por e y, tal que al multiplicar la ecuación por ella la convertimos en exacta.
El problema es que no hay un método claro para saber cómo es esa función a no ser que sea sencilla, como que sólo dependa de por, sólo de y, solo de x+y, solo de x*y...
Lo cierto es que no he encontrado un factor fácil para esta ecuación aunque si la ecuación fuera
(4xy^2+3y)dx+(3x^2*y+2x)dy = 0
tiene un factor fácil x^2*y
x^2*y*[(4xy^2+3y)dx+(3x^2*y+2x)dy] = 0
(4*x^3*y^3+3*x^2*y^2)*dx+(3*x^4*y^2+2*x^3*y)=0
En tal caso
M=4*x^3*y^3+3*x^2*y^2
DM/Dy=12*x^3*y^2+6*x^2*y
N=3*x^4*y^2+2*x^3*y
DN/dx=12*x^3*y^2+6*x^2*y
Y en tal caso sí sería exacta.
Mira a ver si había alguna errata en la ecuación o seguimos buscando.
3º La verdad es que no sé muy bien a qué llamas prueba de separabilidad.
Supongo que querrás decir que la ecuación
dF=DF/Dx * dx + DF/Dy * dy =0
nos queda de variables separadas.
Si es así
F(x,y)=x^2+xy+y^2
DF/Dx=2*x+y
DF/Dy=x+2y
Luego nos queda
(2x+y)dx + (2y+x)dy=0
Y no es de variables separadas, pues éstas tienen la forma
f(x)g(y)dx + h(x)j(y) dy =0
Te agradezco muchísimo tu ayuda. Perdona la tardanza pero tuve problemas con este emai que llegó.
Con la ecuación 2, hice una solución alterna que la puedo enviar por mail (editor de ecuaciones de word) si quieres. Igual me interesaría tu opinión sobre esta respuesta.
De nuevo mil gracias.

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