Ayudenme con el problema del Pirata y el tesoro...
Un pirata esconde un tesoro en una isla desierta: Nota que en la isla hay dos arboles y una horca. Ata su cuerda de uno de los arboles y camina hacia la horca, luego, se mueve noventa grados en sentido horario (sin soltar la cuerda) y clava una estaca. Luego, ata su cuerda al otro árbol, camina hacia la horca, y luego se mueve noventa grados en sentido horario, y clava otra estaca. Luego, une las estacas con su cuerda y, en el punto medio, hace un pozo y entierra el tesoro. Saca las estacas y las quema. Vuelve al tiempo, y ve que la horca ya no estaba (un temporal o terremoto la había derribado). ¿Cómo hace el pirata para encontrar su tesoro? Lo que hay que demostrar es que la posición del punto medio del segmento desde una estaca a la otra (o sea, el punto donde está el tesoro) es independiente de la posición de la horca. Sale con números complejos, y la resolución lleva una línea. Espero que me ayuden, please, please, please, es muy importante!
1 Respuesta
Respuesta de nlocatel
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Es difícil dar un explicación clara sin ayuda de un diagrama.
Por eso te pido que hagas un dibujo a medida que te doy la resolución para ir fijando ideas.
Antes te aclaro que para que el resultado sea el explicado, las rotaciones respecto a los arboles deben tener sentidos opuestos.
Dibujá los supuestos puntos,
a: para representar la posición del primer árbol
b: para representar la posición del segundo árbol
h: para situar la horca
Para no atarnos a ninguna referencia en particular, vamos a tomar un centro de referencia cualquiera (punto O), elegí otro punto cualquiera.
Vamos a usar notación de vectores para llegar al resultado, es lo mismo que
decir números complejos, pero no me interesan en particular sus partes real
e imaginaria. Entonces
A será el vector para el primer árbol(desde O),
b será el vector para el segundo árbol(desde O),
h será el vector para la horca (desde O).
Sigamos los pasos del enunciado:
La ubicación de la primer estaca se obtiene como una rotación centrada en a
del punto h, 90 grados horarios. Usando los vectores:
ubicación estaca 1 = (h-a) * e^(-j pi/2) + a
¿Lo ves? (h-a) es un vector que va del punto a al h, y lo multiplico por la
exponencial compleja para rotarlo 90 grados. Pero además tenés que sumar a
porque el giro es con respecto al punto a. De no hacerlo estarías obteniendo otro punto rotado respecto a O.
De la misma manera:
ubicación estaca 2 = (h-b) * e^(j pi/2) + b
Sólo que esta vez la rotación es en el otro sentido.
El punto de tesoro se obtiene como el promedio de éstos:
ubicación tesoro = { [(h-a)*e^(j pi/2) + a] + [(h-b)*e^(-j pi/2) + b] } / 2
Si hacés un poco de álgebra da
ubicación tesoro = [ a(1 - e^(-j pi/2)) + b(1 - e^(j pi/2)) ] / 2
El término en h desaparece porque e^(-j pi/2) = -e^(j pi/2) y se anulan.
Como ves la ubicación del tesoro es independiante de la posición de la horca.
Ahora, si trabajás la ultima expresión un poco más, verás que el tesoro, se
encuentra sobre la mediatriz del segmento ab, a una distancia de ab/2 desde
su punto medio. Para verlo, la expresión anterior es equivalente a
ubicación tesoro = (a+b)/2 + (a-b)/2 * e^(j pi/2)
El primer termino es el punto medio de ab.
El segundo es la mitad del vector que va de b hacia a, rotado 90 grados.
Por eso te pido que hagas un dibujo a medida que te doy la resolución para ir fijando ideas.
Antes te aclaro que para que el resultado sea el explicado, las rotaciones respecto a los arboles deben tener sentidos opuestos.
Dibujá los supuestos puntos,
a: para representar la posición del primer árbol
b: para representar la posición del segundo árbol
h: para situar la horca
Para no atarnos a ninguna referencia en particular, vamos a tomar un centro de referencia cualquiera (punto O), elegí otro punto cualquiera.
Vamos a usar notación de vectores para llegar al resultado, es lo mismo que
decir números complejos, pero no me interesan en particular sus partes real
e imaginaria. Entonces
A será el vector para el primer árbol(desde O),
b será el vector para el segundo árbol(desde O),
h será el vector para la horca (desde O).
Sigamos los pasos del enunciado:
La ubicación de la primer estaca se obtiene como una rotación centrada en a
del punto h, 90 grados horarios. Usando los vectores:
ubicación estaca 1 = (h-a) * e^(-j pi/2) + a
¿Lo ves? (h-a) es un vector que va del punto a al h, y lo multiplico por la
exponencial compleja para rotarlo 90 grados. Pero además tenés que sumar a
porque el giro es con respecto al punto a. De no hacerlo estarías obteniendo otro punto rotado respecto a O.
De la misma manera:
ubicación estaca 2 = (h-b) * e^(j pi/2) + b
Sólo que esta vez la rotación es en el otro sentido.
El punto de tesoro se obtiene como el promedio de éstos:
ubicación tesoro = { [(h-a)*e^(j pi/2) + a] + [(h-b)*e^(-j pi/2) + b] } / 2
Si hacés un poco de álgebra da
ubicación tesoro = [ a(1 - e^(-j pi/2)) + b(1 - e^(j pi/2)) ] / 2
El término en h desaparece porque e^(-j pi/2) = -e^(j pi/2) y se anulan.
Como ves la ubicación del tesoro es independiante de la posición de la horca.
Ahora, si trabajás la ultima expresión un poco más, verás que el tesoro, se
encuentra sobre la mediatriz del segmento ab, a una distancia de ab/2 desde
su punto medio. Para verlo, la expresión anterior es equivalente a
ubicación tesoro = (a+b)/2 + (a-b)/2 * e^(j pi/2)
El primer termino es el punto medio de ab.
El segundo es la mitad del vector que va de b hacia a, rotado 90 grados.
