Ayuda con problema de función cuadrática, urge para prueba

Estoy realizando mi práctica de examen y me encontré con este ejercicio, espero una buena ayudita.
La entrada de un edificio tiene la forma de un arco parabólico y mide 9 pies de alto en el centro y 6pie de ancho en la base. Si hay que meter una caja rectangular de 8pie de alto, ¿Cuál es el ancho máximo que puede tener la caja?

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Aquí tienes el dibujo, pero hay que resolverlo analíticamente.

Pondremos la parábola centrada para mayor facilidad. Por tener un ancho de 6 pies pasara por los puntos (-3,0) y (3,0) Y por tener un alto de 9 pies pasara por el punto (0,9)

La parábola tendrá por ecuación

y = ax^2 + by + c

Para que pase por esos tres puntos debe cumplirse

0 = a(-3)^2 -3b + c

0 = a(3)^2 + 3b + c

9 = a(0)^2 +0b + c

Ya operadas son

9a - 3b + c = 0

9a + 3b + c = 0

c = 9

Poniendo el valor c=9 las dos primeras quedad

9a - 3b + 9 = 0

9a + 3b + 9 = 0

Sumándolas queda

18a + 18 = 0

18a = -18

a = -1

Y finalmente vamos con este valor a la primera

-9 -3b + 9 = 0

-3b=0

b = 0

Luego ya tenemos los tres valores y la ecuación de la parábola es:

y = -x^2+9

Tal vez si tuvieras bastante practica habrías dado con ella sin resolver estas ecuaciones, pero es el método general que sirve para ejercicios más complicados

Y una tenemos la ecuación de la parábola tenemos que ver cuál es el ancho que tiene a 8 pies de altura. Sustituimos la y de la ecuación por esa altura

8 = -x^2+9

x^2 = 9-8 = 1

x=+1 y -1

Luego los puntos A y B de la figura son

(-1,8) y (1,8)

La anchura es la distancia entre ellos, solo tiene componente horizontal luego nos podemos dejar de calcular raíces cuadradas de sumas de cuadrados, simplemente es restar una componente de x a la otra 1-(-1) = 2

Luego la anchura máxima que puede tener la caja es 2 pies.

Y eso es todo.

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