¿Función localmente invertible?

Lucas 1234321!

El teorema de la función inversa no te va a servir ya que el jacobiano será

| 3x^2 0 |

| 0 3y^2 |

que el punto (0,0) va a ser

|0 0|

|0 0| = 0·0 - 0·0 = 0

Entonces tendrás que ver que es localmente biyectiva. Para ello puedes tomar el cuadrado abierto de lado 2

C = {(x,y) € R2 | -1<x<1; -1<y<1 }

Veamos que la función de ese abierto en si mismo es biyectiva. Para ello primero veremos que es inyectiva

Sea f(x,y) = f(u,v)

(x^3, y^3) = (u^3, v^3)

x^3=u^3 ==> x=u

y^3=v^3 ==> y=v

luego (x,y) = (u,v), por lo tanto es inyectiva

Y veamos que es sobreyectiva

Sea (u,v) € C tomemos el elemento

(x,y) = (u^(1/3) , v^(1/3))

entonces f(x,y) = (u,v) luego es sobreyectiva.

Y eso es todo.