Las derivadas de las funciones son

Esta integral tiene algo distinto, tras aplicar dos veces la integración se vuelve a obtener la integral inicial y gracias a ello se calcula.

$$\begin{align}&\text{Llamemos }\\ &\\ &I=\int e^xsenx\,dx=\\ &\\ &u=e^x\quad\quad\quad du=e^xdx\\ &dv=senx\,dx\quad v=-cosx\\ &\\ &=-e^xcosx+\int e^xcosx\,dx=\\ &\\ &u=e^x\quad\quad\quad du=e^xdx\\ &dv=cosx\,dx\quad v=senx\\ &\\ &=-e^xcosx+e^xsenx-\int e^xsenx\,dx\\ &\\ &\text{luego}\\ &\\ &I=-e^xcosx+e^xsenx-I\\ &\\ &2I = -e^xcosx+e^xsenx\\ &\\ &I = \frac{-e^xcosx+e^xsenx}{2}\\ &\\ &I = \frac{e^x(senx-cosx)}{2}\end{align}$$

Y eso es todo.