Covarianza de dos variables aleatorias. 91

Según el teorema 5.10

Cov(Y1,Y2) = E(Y1·Y2) - E(Y1)·E(Y2)

$$\begin{align}&E(Y_1) = \int_0^1 \int_0^1y_1(4y_1y_2)dy_2dy_1=\\ &\\ &\int_0^1 4y_1^2\left[ \frac{y_2^2}{2} \right]_0 ^1dy_1 = \int_0^1 2y_1^2dy_1=\\ &\\ &2\left[\frac{y_1^3}{3}\right]_0^1=\frac 23\end{align}$$

Y1 e Y2 hacen el mismo papel, luego:

E(Y2) = 2/3

$$\begin{align}&E(Y_1Y_2) = \int_0^1 \int_0^1 y_1y_2(4y_1y_2)dy_2dy_1=\\ &\\ &\int_0^1 4y_1^2\left[ \frac{y_2^3}{3} \right]_0 ^1dy_1 = \int_0^1 \frac 43 y_1^2dy_1=\\ &\\ &\frac 43\left[\frac{y_1^3}{3}\right]_0^1=\frac{4}{9}\end{align}$$

Luego

Cov(Y1, Y2) = 4/9 - (2/3)(2/3) = 4/9 - 4/9 = 0

No, no me sorprende, la covarianza puede tomar cualquier valor entre menos infinito y más infinito.

Y eso es todo.