Aplicación de la Derivada 1

Interesante problema.
Sea x el lado del cuadrado y sea y el lado del triángulo equilátero
El área del cuadrado es bien sencilla, es x^2
La del triángulo es la base por la altura entre 2.
La altura se calcula así, el triangulo equilátero tiene 60º en cada
ángulo, y la altura es el lado por el seno de 60. Luego el área es
y·y·sen60º / 2 = y^2·sqrt(3)/4
Luego el área total será
A = x^2 + y^2·sqrt(3)/4

Esta función es de dos variables, pero podemos hacerla de una porque
4x + 3y = 150
4x = 150-3y
x= (150-3y)/4
con lo cual el área es
A(y) = (150-3y)^2 / 16 + y^2·sqrt(3)/4
Derivaremos e igualaremos a cero para calcular los extremos relativos
A'(y) = 2(150-3y)(-3)/16 + 2y·sqrt(3)/4 =
-(3/8)(150-3y) + y·sqrt(3)/2 = 0
-225/4 + 9y/8 + y·sqrt(3)/2= 0
y[9/8 + sqrt(3)/2] = 225/4
y[9+4sqrt(3)]/8 = 225/4
y[9+4sqrt(3)] = 450
y = 450 / [9 + 4sqrt(3)] = 28.25177413 cm

y ahora calculamos x que la tenemos despejada arriba
x= (150-3y) / 4 = (150 - 3 · 28.25177413) /4 = 16.3111694 cm

Luego:
lado del triángulo = 28.25177413 cm
lado del cuadrado = 16.3111694 cm

Y eso es todo.