Covarianza de dos variables aleatorias. 89

El teorema 5.10 nos da una forma algo mas simplificada de calcular la covarianza

Cov(Y1,Y2) = E(Y1·Y2) - E(Y1)E(Y2)

Calculamos primero las esperanzas de Y1 e Y2 que son más sencillas, sumaremos las columnas en Y1 y las filas en Y2 para multiplicarlas por su valor.

E(Y1) = 0·(4/9) + 1(4/9) + 2(1/9) = 6/9 = 2/3

E(Y2) = 0(4/9) + 1(4/9) +2(1/9) = 6/9 = 2/3

Y ahora debemos montar la distribución de Y1·Y2 que puede tomar estos valores:

0 de varias formas, con estas combinaciones de Y1Y2=

00, 01, 02, 10, 20 y la suma de probabilidades de estas combinaciones es

P(0)=1/9+2/9+1/9+2/9+1/9 = 7/9

El uno se obtiene de una forma con 11

P(1)=2/9

Y eso es todo, cualquier otra combinación tiene probabilidad cero

E(Y1·Y2)= 0(7/9)+1(2/9) = 2/9

Luego

Cov(Y1,y2)= 2/9 - (2/3)(2/3) = 2/9 - 4/9 = -2/9

No, no me sorprende que sea negativa. La definición de covarianza es

Cov(Y1,Y2) = E[(X1-mu1)(X2-mu2)] Si el primer factor y el segundo son de distinto signo se origina un sumando negativo en la esperanza y al final pueden predominar los negativos.

Si solo hay probabilidad no nula cuando una variable tiene valor alto y la otra lo tiene bajo pueden ser todos las sumandos negativos y la esperanza ser negativa y la covarianza negativa.

Y eso es todo.