¿Cómo probar que A es una matriz triangular superior y es invertible?

Espero que lo que sigue te aprode:
Como sabemos, una matriz triangular superior Aij es aquella que si i>j, implica (materialmente) aij = 0. Como el antecedente es que A es inversible, existe A-1. Probemos por inducción:
caso n=1: evidente
caso n>1: Dividimos las matrices A, A-1 y I (identidad) en 4 "cajas", así:
/*##########\
|%$$$$$$$$$$|
|%$$$$$$$$$$|
|%$$$$$$$$$$|
|%$$$$$$$$$$|
\%$$$$$$$$$$/
Las tres matrices tendrán esta división en cajas, y las indexamos así: la parte del * será una caja 1x1 y tendrá índices (1,1), la parte de #'s será 1x(n-1) (siendo n la dimensión de la matriz A) e índices (1,2), la parte de %'s será (n-1)x1 e índices (2,1), y la parte sobrante es cuadrada: (n-1)x(n-1) e índices (2,2).
Con estas cajas podemos multilicar A y B=A-1:
I22= A21 B12 + A22 B22
Como A es triangular superior, tenemos que A21 = 0 (la parte de los %'s de A son ceros) y, por tanto, I22 = A22 B22
Como I22 (la parte de los $'s de la matriz identidad) forma la identidad de dimensión n-1, y por tanto B22 es la inversa de A22. Y puesto que A22 es triangular superior también, B22, por hipótesis de inducción, será triangular superior.
Sólo queda probar que B21 = 0. De que B es la inversa de A tenemos otras dos ecuaciones:
A11 B11 + A12 B21 = 1
A22 B21 = 0
Sólo nos hace falta la segunda. Como se sabe, si una matriz tiene inversa, el homomorfismo (dada la base canónica por ejemplo) que representa es un isomorfismo y, en particular, un monomorfismo, por lo que el núcleo sólo contiene el vector nulo. Pero hemos visto que A22 tiene inversa, que es B22. Por tanto Las soluciones a A22 x = 0, sólo puede ser una: x = 0, y, por tanto, B21 = 0.
Y esto concluye la demostración.

Una Matriz es Triangular cuando:existe A(ii)distinto de cero. Por ejemplo
a(11) o
0 a(22)
con a(11) distinto de cero,y a(22) distinto de cero.
Y la Triangular superior :es si para todo (i mayor que j), osea para tota fila mayor que columna :a(ij)=o, existe un a(ji)distinto de cero.
a(11) a(12) a(13)....a(1n)
0 a(22) a(23)....a(2n)
0 0 a(33)....a(3n)
. . . .
0 o 0 a(nn)
es una matriz triangular superior A de orden n.
para ver si es invertible:
A:I=I:A, n=2,I=matriz identidad de orden n
A=| a(11) a(12) |,I=|1 0 |
| 0 a(22) | |0 1 |
ahora: |a(11) a(12):1 0 |
|0 a(22):0 1 |
aplicando F(12){[-a(12)/a(22)]}yF(1){1/a(11)}yF(2){1/a(22)},se va a optener la matriz A a la -1A-1= {1/a(11)} {-a(12)/a(11)a(22)}
0 1/a(22)
Lo que me lleva a una matriz triangular superior, por lo cual queda probado para una matriz de orden n.