Demostración de declaración de vectores
Hola, podrías ayudarme con este ejercicio sencillo necesito demostrar lo siguiente:
|u|2 |v|2 - |u|2 |v|2 cos2 (alfa)
Sabiendo:
(cosx )2 + (senx)2 =1
Nota: los 2 significan al cuadrado
1 respuesta
En el enunciado no pone lo que hay que demostrar, se supone que será una igualdad pero no aparece el signo = y el segundo miembro de la igualdad.
Supongo que u y v serán dos vectores.
La forma de poner los exponentes de las potencias es tras el signo ^
|u|^2 |v|^2 - |u|^2 |v|^2 cos^2(alfa)
Pero eso, debes poner la igualdad que debe demostrarse o lo que sea.
Aquí va completo
Demostrar el producto vectorial
|u*v|= |u|^2 |v|^2 - (v*w)^2
= |u|^2 |v|^2 - |u|^2 |v|^2 cos^2(alfa)
A partir de la identidad trigonométrica:
(cosx)^2+ (senx)^2= 1
Saludos!
Sigue habiendo algún fallo, tal como una w que aparece. Donde pone (v*w) debería poner (u*v)^2
El producto vectorial se escribe con una x y el escalar con un punto gordo, lo que pasa es que aquí se ve tan poco el punto y puede confundir con el de la multiplicación normal que usaremos un * para el producto escalar.
Y además la primera igualdad es falsa le falta un cuadrado, el enunciado correcto es este
|u x v|^2 = |u|^2·|v|^2 - (v*w)^2 = |u|^2·|v|^2 - |u|^2·|v|^2·cos^2(alfa)
Debemos conocer estas dos fórmulas:
|u x v| = | |u|·|v|·sen(alfa) |
Teniendo en cuenta que la | unas veces significa módulo de un vector y otras valor absoluto de un número real.
u*v = |u|·|v|·cos(alfa)
Entonces:
|u x v|^2 = | |u|·|v|·sen(alfa) |^2 =
|u|^2·|v|^2·sen^2(alfa) =
Como cos^2(x) + sen^2(x) = 1 tenemos sen^2(alfa) = 1 - cos^2(alfa)
|u|^2·|v|^2·[1 - cos^2(alfa)] =
|u|^2·|v|^2 - |u|^2·|v|^2·cos^2(alfa) =
Ya hemos demostrado la igualdad del primer término con el tercero, el orden en que lo pusieron no era el lógico deductivo. Ahora vamos a ver la igualdad con el segundo:
= |u|^2·|v|^2 - [|u|·|v|·cos(alfa)]^2 =
teniendo en cuenta la fórmula que pusimos arriba del producto escalar
= |u|^2·|v|^2 - (u*v)^2
Y queda demostrado que las tres cosa son iguales. Pero ha habido que hacer varias correcciones en el enunciado para que estuviera bien.
