¿Cómo se calculan los logaritmos y se hacen las tablas?

Es una aproximación que utiliza suma de potencias de polinomios para obtener la convergencia de un valor. Cada elemento (o polinomio) de la Serie de Taylor se denomina término, y a través de la suma de las derivadas de la función se busca la convergencia de la serie.

Algunos ejemplos básicos se encuentran en la serie para la convergencia del número e, la constante de Euler.

El procedimiento para realizar la convergencia de la serie está en la siguiente liga:

https://bitcu.co/serie-de-taylor-numero-e/ 

Perdón por la tardanza, pero he estado un poco liado.
En fin, veamos si te puedo responder.
Los logaritmos es una herramienta de cálculo inventada por John Napier en 1640.
En principio la definición de logaritmo es
loga b = c <---> a^c=b
Es decir: "El logaritmo en base a de b es c si se cumple que a elevado a c es b."
En principio podemos usar cualquier base, aunque en matemáticas se usa :
1º Logaritmo neperiano (Ln) o natural, de base e=2.71828...-->número de Euler
2º Ocasionalmente los logaritmos decimales en base 10 (mucho menos usados)
La razón por la que se escoge un número aparentemente tan extraño como el número e es por cuestiones de derivación e integración
Con esta definición, es fácil sacar logaritmos de números fáciles, por ejemplo, usando logaritmos decimales
log 100=2, pues 10^2=100
log 0.1=-1 pues 10^-1=0.1
Lo bueno que tienen los logaritmos es que cumplen unas propiedades muy interesantes, así en cualquier base
log(a*b)=loga+logb
log(a/b)=loga-logb
log(a^b)=b*loga
De esta forma, si tenemos en una tabla unos pocos logaritmos, podemos sacar muchos más combinándolos, como por ejemplo, en una tabla encontramos
Ln2=0.693
Ln3=1.0986
y sólo con esos podemos calcular cualquier variación con el 2 y el 3
Ln6=Ln(2*3)=Ln2+Ln3=0.693+1.0986=1.791
Ln27=Ln(3^3)=3*Ln3=3*1.0986=3.2958
Napier sacó unas tablas de logaritmos, aunque se desconoce qué método usó para calcularlos. Posteriormente Henry Briggs (Londres, 1624) las completó hasta los primeros 30000 números y Adriaan Vlacq (Goude, 1628) hasta los 100000.
La forma de sacar los logaritmos, se hizo mediante la convergencia de series numéricas, demostrables mediante cálculo infinitesimal.
Por ejemplo, desarrollando la serie de McLaurin, se comprueba que
Ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/-x^6/6+...
Con lo que
Ln(1.2)=0.2-0.2^2/2+0.2^3/3-0.2^4/4+0.2^5/5-0.2^6/6+...
Ln(1.2)=0.18232
Gracias a los logaritmos y a las reglas de cálculo se simplificaron mucho las operaciones con números grandes
Las mejores tablas usando series las publicó Michael Taylor, y tenían como usuarios al mismo rey de Inglaterra.
Por cierto Taylor bautizó a su hijo como John Napier Henry Briggs Michael Taylor, en homenaje a sus maestros.