Longitud de arco de caminos en R^n

Sean los caminos f,g.h: [alfa,beta] ---->R^3 dados por

f(t) = (t, phi(t), a)

g(t) = (t, b, phi(t))

h(t) = (c, t, phi(t))

donde a,b,c son números reales y phi: [alfa, beta] ----> R es una función de clase C1. Demuestre que la longitud de los caminos f, g, h es igual a la longitud de la gráfica de la función g. Interprete geométricamente.

Los caminos son de clase C1 ya que phi(t) lo es y las funciones t y las constantes también lo son.

La definición de longitud de un camino de clase C1 entre t=alfa y t=beta es

$$\begin{align}&l(f)=\int_{\alpha}^{\beta}||f'(t)||dt\\ &\\ &\text{Aplicado a los caminos del ejercicio es}\\ &\\ &l(f)=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1^2+[\varphi'(t)]^2+0^2}dt=\\ &\\ &\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1+[\varphi'(t)]^2+}dt=l(\varphi)\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &·\\ &\\ &l(g)=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1^2+0^2+[\varphi'(t)]^2}dt=\\ &\\ &\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1+[\varphi'(t)]^2}dt=l(\varphi)\\ &\\ &\\ &\\ &.\\ &\\ &\\ &\\ &l(h)=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{0^2+1^2+[\varphi'(t)]^2}dt=\\ &\\ &\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1+[\varphi'(t)]^2}dt=l(\varphi)\\ &\\ &---\end{align}$$

La interpretación es que los caminos son iguales que la función phi. Simplemente los hemos llevado al espacio, pero en realidad están contenidos en planos:

f en el plano z=a

g en el plano y=b

h en el plano x=c

Por favor, debe ser un ejercicio en cada pregunta. Después de terminar uno que te he ha hecho cavilar, el pensar que aun tienes que hacer otro más o incluso dos antes de mandar la respuesta te baja la moral.