Anónimo
Limites al infinitos
Hola valerosman. Tengo la siguiente función:
f(x)=v(x^2 - 5)/| x+2|
Me piden hallar el dominio de la función, yo lo hallé y lo confirme con la ayuda de la gráfica. Lo alle así:hallé el dominio de la función raíz haciendo x^2 - 5 >=0 y luego halle el domino de la función valor absoluto y los intersecté. Quiero que me digas si es correcto y sino entonces que me expliques paso a paso como se debe hacer.
Otro tunto, me piden hallar lim cuando x tiende a MÁS infinito de f(x) y limite cuando x tiende a MENOS infinito de f(x). Como calcularlos, te pido que me expliques.
Muchas gracias por tu ayuda.
f(x)=v(x^2 - 5)/| x+2|
Me piden hallar el dominio de la función, yo lo hallé y lo confirme con la ayuda de la gráfica. Lo alle así:hallé el dominio de la función raíz haciendo x^2 - 5 >=0 y luego halle el domino de la función valor absoluto y los intersecté. Quiero que me digas si es correcto y sino entonces que me expliques paso a paso como se debe hacer.
Otro tunto, me piden hallar lim cuando x tiende a MÁS infinito de f(x) y limite cuando x tiende a MENOS infinito de f(x). Como calcularlos, te pido que me expliques.
Muchas gracias por tu ayuda.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Primero pondré la raíz cuadrada tal como se suele escribir en computación.
f(x) = sqrt(x^2-5) / |x+2|
Mejor lo hago y tu verás si te da lo mismo, porque como no me dices que te dio no se si lo hiciste bien.
La raíz cadrada solo esta definida para números >= 0 luego
x^2 - 5 >= 0
x^2 >= 5
|x| >= sqrt(5)
Dom sqrt(x^2-5) = (-oo, -sqrt(5)) U (sqrt(5), +oo)
Tener en cuenta que sqrt(5) = 2,236068
La función valor absoluto esta definida para todo R luego no aporta nada.
Lo que si hay que tener en cuenta es que al estar en un denominador no puede valer cero. Eso supone que x=-2 no puede pertenece al dominio.
Pero eso no afecta al dominio que teníamos antes porque -2 ya no estaba en él.
Luego Dom f = (-oo, -sqrt(5)) U (sqrt(5), +oo)
------------
Los valores absolutos molestan mucho a la hora de hacer cálculos salvo que se puedan quitar porque se asbe cual es el signo de lo que hay dentro
Entonces, cuando por --> -oo lo de dentro de |x-2| es negativo y podemos usar en su lugar - (x-2) que es el autético valor absoluto
lim x-->-oo de -sqrt(x^2-5) / (x-2)
El -5 de la raíz y el -2 del denominador son términos despreciables en relación a x o x^2 cuando x tiende a -oo, luego los eliminamos y queda
lim x --> -oo de -sqrt(x^2) / x = lim x --> -oo de -|x|/x = 1
Y en el otro límite lo mismo, cuando x--> +oo lo de dentro de |x-2| es positivo y podemos poner
lim x--> +oo de sqrt(x^2 - 5) / (x+2)
-5 y +2 son despreciables en este contexto y el límite queda
lim x --> +oo de sqrt(x^2) / x = lim x-->+oo de x/x = 1
Luego ambos límites son 1.
Y eso es todo.
f(x) = sqrt(x^2-5) / |x+2|
Mejor lo hago y tu verás si te da lo mismo, porque como no me dices que te dio no se si lo hiciste bien.
La raíz cadrada solo esta definida para números >= 0 luego
x^2 - 5 >= 0
x^2 >= 5
|x| >= sqrt(5)
Dom sqrt(x^2-5) = (-oo, -sqrt(5)) U (sqrt(5), +oo)
Tener en cuenta que sqrt(5) = 2,236068
La función valor absoluto esta definida para todo R luego no aporta nada.
Lo que si hay que tener en cuenta es que al estar en un denominador no puede valer cero. Eso supone que x=-2 no puede pertenece al dominio.
Pero eso no afecta al dominio que teníamos antes porque -2 ya no estaba en él.
Luego Dom f = (-oo, -sqrt(5)) U (sqrt(5), +oo)
------------
Los valores absolutos molestan mucho a la hora de hacer cálculos salvo que se puedan quitar porque se asbe cual es el signo de lo que hay dentro
Entonces, cuando por --> -oo lo de dentro de |x-2| es negativo y podemos usar en su lugar - (x-2) que es el autético valor absoluto
lim x-->-oo de -sqrt(x^2-5) / (x-2)
El -5 de la raíz y el -2 del denominador son términos despreciables en relación a x o x^2 cuando x tiende a -oo, luego los eliminamos y queda
lim x --> -oo de -sqrt(x^2) / x = lim x --> -oo de -|x|/x = 1
Y en el otro límite lo mismo, cuando x--> +oo lo de dentro de |x-2| es positivo y podemos poner
lim x--> +oo de sqrt(x^2 - 5) / (x+2)
-5 y +2 son despreciables en este contexto y el límite queda
lim x --> +oo de sqrt(x^2) / x = lim x-->+oo de x/x = 1
Luego ambos límites son 1.
Y eso es todo.
valerosman no entiendo como sacaste ese limite a menos infinito, me enredo con ese valor absoluto explicame nuevamente y si podes un poco más claro.
Cuando por --> -oo sucede que (x - 2) es negativo por ejemplo, si x = -1000000
x-2 = -1000000 - 2 = -1000002
Como en la función tenemos el valor absoluto en el denominador lo que tendremos por deominador es
|x - 2| = 1000002
Que es exactamente lo mismo que
- (x-2)
Así que en vez de poner |x - 2| vamos a poner -(x-2) y quedaría
lim x --> -oo de sqrt(x^2 - 5) / [-(x-2)]
Como el signo - no me gusta que esté en el denominador lo pongo en el numerador
lim x --> -oo de - sqrt(x^2 - 5) / (x-2)
Ahora eliminamos los términos constantes que insignificantes, despreciables o como quieras decir en comparación con el infinito, simplemente se deja lo que tiene mayor grado en el numerador y el denominador.
Lim x --> -oo de - sqrt(x^2) / x
La raíz cuadrada de algo elevado al cuadrado es el valor absoluto de eso:
lim x --> -oo de - |x| / x
Pero como x --> -oo entonces x es negativo, luego su valor absoluto se obtiene cambiándolo de signo
lim x --> -oo de - (-x) / x =
lim x --> -oo de x / x =
lim x --> -oo de 1 = 1
Y eso es todo, ya más desmenuzado me parece que es imposible.
x-2 = -1000000 - 2 = -1000002
Como en la función tenemos el valor absoluto en el denominador lo que tendremos por deominador es
|x - 2| = 1000002
Que es exactamente lo mismo que
- (x-2)
Así que en vez de poner |x - 2| vamos a poner -(x-2) y quedaría
lim x --> -oo de sqrt(x^2 - 5) / [-(x-2)]
Como el signo - no me gusta que esté en el denominador lo pongo en el numerador
lim x --> -oo de - sqrt(x^2 - 5) / (x-2)
Ahora eliminamos los términos constantes que insignificantes, despreciables o como quieras decir en comparación con el infinito, simplemente se deja lo que tiene mayor grado en el numerador y el denominador.
Lim x --> -oo de - sqrt(x^2) / x
La raíz cuadrada de algo elevado al cuadrado es el valor absoluto de eso:
lim x --> -oo de - |x| / x
Pero como x --> -oo entonces x es negativo, luego su valor absoluto se obtiene cambiándolo de signo
lim x --> -oo de - (-x) / x =
lim x --> -oo de x / x =
lim x --> -oo de 1 = 1
Y eso es todo, ya más desmenuzado me parece que es imposible.