Anónimo
Función de producción con Langragian
La función de producción de una empresa es P(L, K)=100L3/4K1/4, en donde L y K representan el numero de unidades de mano de obra y de capital.
Cada unidad de trabajo cuesta 200$ y cada unidad de capital 300$
La empresa dispone de $60000 (budget constraint) destinados a producción.
Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange, determine el numero de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a dfin de obtener una producción máxima.
Muchas gracias por su ayuda,
Ramox
Cada unidad de trabajo cuesta 200$ y cada unidad de capital 300$
La empresa dispone de $60000 (budget constraint) destinados a producción.
Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange, determine el numero de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a dfin de obtener una producción máxima.
Muchas gracias por su ayuda,
Ramox
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
P(L,K) = 100·L^(3/4)·K^(1/4)
El método de los multiplicadores de Lagrange se usa para calcular los máximos y mínimos de una función de varias variables cuyas variables están ligadas por alguna función. En este ejemplo será el máximo de una función de dos variables P(L, K), pero no en todo el plano, sino a lo largo una curva determinada por el dinero que tiene la empresa disponible para destinar a producción.
Dicha curva es:
g(L,K) = 200L + 300K - 60000 = 0
La teoría dice que calcular los máximos o mínimos de P ligados a g es lo mismo que calcular los máximos o mínimos de esta nueva función:
F(L,K,m) = P(L,K) + m·g(L,K) donde m es un multiplicador de Lagrange
Igualando a cero las derivadas parciales respecto a L y K junto con la ecuación g(L, K)=0 tendremos tres ecuaciones que nos servirán para despejar las tres incógnitas L(máx/mín), K(máx/mín) y m.
En realidad, cuando en la ecuación g(L, K) podemos poner L en función de K o viceversa, prodríamos resolver el problema mucho más sencillamente como un problema de máximos de una variable, pero como nos dicen que hay que usar los multiplicadores de Lagrange, vamos a usarlos.
F(L,K,m) =100·L^(3/4)·K^(1/4) + m(200L + 300K - 60000)
100·(3/4)L^(-1/4)K^(1/4) + 200m = 75(K/L)^(1/4) + 200m = 0
100·L^(3/4)·(1/4)K^(-3/4) +300m = 25(L/K)^(3/4) + 300m = 0
De la primera
(K/L)^(1/4) = - 200m/75 = - 8m/3
(K/L)^(3/4) = - (512m^3) / 27
Invirtiendo
(L/K)^(3/4) = -27 / (512m^3)
De la segunda
(L/K)^(3/4) = -300m/25 = -12m
Luego igualando
-27/(512m^3) = -12m
6144m^4 = 27
m = +- (27/6144)^(1/4)
Puesto que Ky L queremos que sean positivos tomemos m = -(27/6144)^(1/4)
Una ecuación de arriba decía:
(K/L)^(1/4) = - 8m/3
(K/L)^(1/4) = (8/3)(27/6144)^(1/4)
Elevamos (8/3) a la cuarta para meterlo dentro del radical
(K/L)^(1/4) = [4096·27/(81·6144)]^(1/4)
K/L = 4096·27/(81·6144) = 4096/(3·6144) = 2/(3·3) = 2/9
K = 2L/9
Y tomando esta otra
g(L,K) = 200L + 300K - 60000 = 0
200L + 300(2L/9) = 60000
200L +600L/9 = 60000
(1800L + 600 L) / 9 = 60000
2400L = 540000
L = 540000/2400 = 225
Recordemos la igualdad de arriba
K = 2L/9 = 2·225/9 = 450/9 = 50
Y esos son los valores que maximizan la producción, 225 unidades de mano de obra y 50 de capital.
A modo de comprobación se pueden hacer estos cálculos:
P(222, 52) = 15444,21
P(225, 50) = 15448,25
P(228, 48) = 15444,06
Donde se intuye que el máximo está en (225, 50)
Y eso es todo. Ya sé que de sencillo ha podido tener poco, pero espero que lo haya entendido. NO olvides puntuar.
El método de los multiplicadores de Lagrange se usa para calcular los máximos y mínimos de una función de varias variables cuyas variables están ligadas por alguna función. En este ejemplo será el máximo de una función de dos variables P(L, K), pero no en todo el plano, sino a lo largo una curva determinada por el dinero que tiene la empresa disponible para destinar a producción.
Dicha curva es:
g(L,K) = 200L + 300K - 60000 = 0
La teoría dice que calcular los máximos o mínimos de P ligados a g es lo mismo que calcular los máximos o mínimos de esta nueva función:
F(L,K,m) = P(L,K) + m·g(L,K) donde m es un multiplicador de Lagrange
Igualando a cero las derivadas parciales respecto a L y K junto con la ecuación g(L, K)=0 tendremos tres ecuaciones que nos servirán para despejar las tres incógnitas L(máx/mín), K(máx/mín) y m.
En realidad, cuando en la ecuación g(L, K) podemos poner L en función de K o viceversa, prodríamos resolver el problema mucho más sencillamente como un problema de máximos de una variable, pero como nos dicen que hay que usar los multiplicadores de Lagrange, vamos a usarlos.
F(L,K,m) =100·L^(3/4)·K^(1/4) + m(200L + 300K - 60000)
100·(3/4)L^(-1/4)K^(1/4) + 200m = 75(K/L)^(1/4) + 200m = 0
100·L^(3/4)·(1/4)K^(-3/4) +300m = 25(L/K)^(3/4) + 300m = 0
De la primera
(K/L)^(1/4) = - 200m/75 = - 8m/3
(K/L)^(3/4) = - (512m^3) / 27
Invirtiendo
(L/K)^(3/4) = -27 / (512m^3)
De la segunda
(L/K)^(3/4) = -300m/25 = -12m
Luego igualando
-27/(512m^3) = -12m
6144m^4 = 27
m = +- (27/6144)^(1/4)
Puesto que Ky L queremos que sean positivos tomemos m = -(27/6144)^(1/4)
Una ecuación de arriba decía:
(K/L)^(1/4) = - 8m/3
(K/L)^(1/4) = (8/3)(27/6144)^(1/4)
Elevamos (8/3) a la cuarta para meterlo dentro del radical
(K/L)^(1/4) = [4096·27/(81·6144)]^(1/4)
K/L = 4096·27/(81·6144) = 4096/(3·6144) = 2/(3·3) = 2/9
K = 2L/9
Y tomando esta otra
g(L,K) = 200L + 300K - 60000 = 0
200L + 300(2L/9) = 60000
200L +600L/9 = 60000
(1800L + 600 L) / 9 = 60000
2400L = 540000
L = 540000/2400 = 225
Recordemos la igualdad de arriba
K = 2L/9 = 2·225/9 = 450/9 = 50
Y esos son los valores que maximizan la producción, 225 unidades de mano de obra y 50 de capital.
A modo de comprobación se pueden hacer estos cálculos:
P(222, 52) = 15444,21
P(225, 50) = 15448,25
P(228, 48) = 15444,06
Donde se intuye que el máximo está en (225, 50)
Y eso es todo. Ya sé que de sencillo ha podido tener poco, pero espero que lo haya entendido. NO olvides puntuar.