Ejercicios de Logaritmo

1) Si log a^2=m y log b^3=n, entonces log (ab)=?
Aplicaremos que log x^n = n·log x
log a^2 = 2·log a = m ==> log a = m/2
log b^3 = 3·log b = n ==> log b = n/3
Y ahora aplicaremos log (xy) = log x+ log y
log (ab) = log a + log b = m/2 + n/3
No merece la pena operar más porque no se simplifica.
2) El valor de ''x'' en la ecuación: log (x+2) + log (x+3)=log 2
Aplicamos log a + log b = log (ab)
log((x+2)(x+3)) = log(2)
Aplicando la función inversa
(x+2)(x+3) = 2
x^2 + 3x + 2x + 6 = 2
x^2 + 5x + 4 = 0
x = [-5 +- sqrt(25 -16)] / 2
x = [-5 +- sqrt(9)] / 2
x = -5 +- 3 / 2
x = - 4 ó -1
Pero la solución x=-4 no sirve porque tendremos log(x+2) = log(-1) que es negativo y no esta definido
Luego la solución es x = -1
3) Si log4 (a+16) + log4 (a-16)=log8 64^(x^2) - log8 8^x' entonces a^2=?
log4((a+16)(a-16)) = log8(64^(x^2) / 8^x)
log4(a^2 - 256) = log8(64^(2x) / 8^x)
log4(a^2 - 256) = log8(8^(4x) / 8^x)
log4(a^2 - 256) = log8(8^(3x))
log4(a^2 - 256) = 3x
Aplicando la función inversa a log4 que es 4^x tenemos:
a^2 - 256 = 4^(3x)
a^2 = 4^(3x) + 256
Tampoco merece la pena operar más.
Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hallas entendido. Si no te quedó claro consulta las dudas. NO olvides puntuar.

Muchas gracias los resultados coinciden con los de mi guía, pero en el ejercicio 3 no me coincide en el ejercicio 3 me dan las siguientes alternativas:
a) 4^(2(x^2)-x) + 4^4
b) 4^(2(x^2) - x - 4)
c) 4^(x - 2(x^2) / 4
d) 4^(2(x^2) - x + 4
e) 4^(2(x^2) - x) / 4