Dudas en funciones continuas y derivables.

Por supuesto que existen. El teorema dice que derivable ==> continua, pero no al contrario.
Los primeros ejemplos que vienen a la mente son los que causa la función valor absoluto.
Si tomas f(x) = |x| en el cero es continua sin discusión mientras que no es derivable en es punto. La derivada es:
lím h --> 0 de (|0+h| -|0|)/ h =
lím h --> 0 de |h|/h
No existe, es -1 por la izquierda y +1 por la derecha.
También están las funciones con pendiente infinita pero valor finito, como el extremo de una circunferencia
f(x) = sqrt(1-x^2) en x=1
Creo recordar cuando estudiaba que se habló de la existencia de una función continua en todos los puntos y no derivable en ninguno. No recuerdo muy bien cómo, pienso que era una serie que cada vez tenía dientes de sierra más estrechos oscilando entre dos cantidades fijas.
Y eso es lo que recuerdo de momento.

Espera que en el Google aparecen referencias:
http://coloquiooleis.wordpress.com/2009/03/04/crear-funciones-continuas-y-no-derivables-en-ningun-punto-es-facil/
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/HistoriaMatematica/HistoriaV8n1007/conjetura_poincare.htm
http://eltallersemanal.galeon.com/func_patologicas.pdf
Buscando "continua no derivable en ningún punto" o similar te aparecerán referencias.

Siendo más preciso te quería preguntar si existe una función continua y no derivable en todos sus puntos, sin embargo adivinaste lo que te quería preguntar en si, ahora en el tercer link que me enviaste aparece en la página 15 del libro funciones patológicas la función de weirstrass ¿quisiera saber cómo demuestras que efectivamente se cumple que esta función continua no es derivable en ningún punto de su dominio?! Demostración!
Un saludo.