Anónimo
Matemáticas: necesito ayuda con los límites
Hola valeroasm!
Tengo una duda en este problema.
Problema)
Desde f(x)=4/(x-2), e>o(e=epsilon), halle d>0 tal que 0<|x-4|<d entonces|f(x)-2|<e.
Sol.L=2, Xo=4:
|f(x)-L|=|4/(x-2)-2|=|(4-2x+4)/(x-2)|=2|x-4|/|x-2|... (a)
Después del último paso todavía no nos conviene[<e] pues el denominador|x-2| depende de x y debería ser una constante, lo que nos sugiere tomar un d1 arbitrario, por ejemplo:
[d1=1]: el cual será usado para acotar 2/|x-2| superiormente
0<|x-4|<d1=1 entonces |x-4|<1 entonces -1<x-4<1 entonces
1<x-2<3 entonces1/3<1/(x-2)<1 entonces2/3<2/(x-2)<2 entonces
2/|x-2|<2, con lo cual pasamos a ...(a):
|f(x)-2|=2|x-4|/|x-2|<2|x-4|<e,(recien aqui hemos requerido que sea<e), si y solo si
|x-4|<e/2(=d2) encontramos otro d: d2=e/2; entonces un d>0 adecuado se elige como
d=min{d1,d2}.
Mis dudas son:
a)Primero si es válida la demostración.
b)Creo que a partir de |f(x)-L|=|4/(x-2)-2|, puedes formar lo que siempre se hace en una caso de problema más sencillo de límites como:
Ej:
Dada f(x)=3x, pruebe que para cada e>0 existe un correspondiente d> que satisface que:
Si 0<|x-4|<d entonces|f(x)-12|<e.
Sol)
|f(x)-12|=|3x-12|=3|x-4|<e si y solo si|x-4|<e/3=d.
Elegimos así d=e/3>0, y vemos por los cálculos hechos que si x satisface
0<|x-4|<d=e/3 entonces|x-4|<d=e/3
(En este ejemplo una pequeña duda considero que no debería decir existe un d sino halle un d, ya que existe varios deltas y también 0<|x-4|<d=e/3 entonces|x-4|<d=e/3 aquí se están olvidando que x puede ser 4).
c)En esta parte tengo esta duda |f(x)-2|=2|x-4|/|x-2|<2|x-4|<e,(recien aqui hemos requerido que sea<e), si y solo si |x-4|<e/2(=d2) yo pregunto por qué necesariamente elijo aquel e>2|x-4| y por qué no un |f(x)-2|<e<2|x-4|
d)También por qué elijo un (d1 conveniente) para hallar un d2, o sea que d2 depende de d1 entonces tendría 2 valores para delta y me dicen que elijo el menor ¿cómo demuestro que se cumple siempre que d1 o d2 es solución? ¿Prácticamente estaría tanteando un valor para obtener otro delta? ¿Se puede hacer eso? ¿Por qué?
e) En esta parte 2/3<2/(x-2)<2 entonces 2/|x-2|<2, considero que el correcto sería 2/3 <|x-2|<2 U -2<|x-2|<-2/3 ?
Por favor es urgente para seguir estudiando.
Un saludo.
Tengo una duda en este problema.
Problema)
Desde f(x)=4/(x-2), e>o(e=epsilon), halle d>0 tal que 0<|x-4|<d entonces|f(x)-2|<e.
Sol.L=2, Xo=4:
|f(x)-L|=|4/(x-2)-2|=|(4-2x+4)/(x-2)|=2|x-4|/|x-2|... (a)
Después del último paso todavía no nos conviene[<e] pues el denominador|x-2| depende de x y debería ser una constante, lo que nos sugiere tomar un d1 arbitrario, por ejemplo:
[d1=1]: el cual será usado para acotar 2/|x-2| superiormente
0<|x-4|<d1=1 entonces |x-4|<1 entonces -1<x-4<1 entonces
1<x-2<3 entonces1/3<1/(x-2)<1 entonces2/3<2/(x-2)<2 entonces
2/|x-2|<2, con lo cual pasamos a ...(a):
|f(x)-2|=2|x-4|/|x-2|<2|x-4|<e,(recien aqui hemos requerido que sea<e), si y solo si
|x-4|<e/2(=d2) encontramos otro d: d2=e/2; entonces un d>0 adecuado se elige como
d=min{d1,d2}.
Mis dudas son:
a)Primero si es válida la demostración.
b)Creo que a partir de |f(x)-L|=|4/(x-2)-2|, puedes formar lo que siempre se hace en una caso de problema más sencillo de límites como:
Ej:
Dada f(x)=3x, pruebe que para cada e>0 existe un correspondiente d> que satisface que:
Si 0<|x-4|<d entonces|f(x)-12|<e.
Sol)
|f(x)-12|=|3x-12|=3|x-4|<e si y solo si|x-4|<e/3=d.
Elegimos así d=e/3>0, y vemos por los cálculos hechos que si x satisface
0<|x-4|<d=e/3 entonces|x-4|<d=e/3
(En este ejemplo una pequeña duda considero que no debería decir existe un d sino halle un d, ya que existe varios deltas y también 0<|x-4|<d=e/3 entonces|x-4|<d=e/3 aquí se están olvidando que x puede ser 4).
c)En esta parte tengo esta duda |f(x)-2|=2|x-4|/|x-2|<2|x-4|<e,(recien aqui hemos requerido que sea<e), si y solo si |x-4|<e/2(=d2) yo pregunto por qué necesariamente elijo aquel e>2|x-4| y por qué no un |f(x)-2|<e<2|x-4|
d)También por qué elijo un (d1 conveniente) para hallar un d2, o sea que d2 depende de d1 entonces tendría 2 valores para delta y me dicen que elijo el menor ¿cómo demuestro que se cumple siempre que d1 o d2 es solución? ¿Prácticamente estaría tanteando un valor para obtener otro delta? ¿Se puede hacer eso? ¿Por qué?
e) En esta parte 2/3<2/(x-2)<2 entonces 2/|x-2|<2, considero que el correcto sería 2/3 <|x-2|<2 U -2<|x-2|<-2/3 ?
Por favor es urgente para seguir estudiando.
Un saludo.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Fabian pdl!
Si, está perfecto, al tomar d = min{d1,d2} aseguras que se cumpla |f(x)-2|<e.
En el ejemplo hay dos línea que dices:
Elegimos así d=e/3>0, y vemos por los cálculos hechos que si por satisface
0<|x-4|<d=e/3 entonces|x-4|<d=e/3
Eso es redundante lo que deberías poner en la segunda línea es:
0<|x-4|<d=e/3 entonces |f(x)-12|=|3x-12|=3|x-4|<3e/3 = e
La definición de límite es:
limite cuando x --> a de f(x) es igual a L si y solo si para todo epsilon > 0 existe un delta > 0 tal que si 0 < |x- delta| < 0 entonces |f(x) - L| < epsilon
Nos piden que demostremos que existe un delta. Lo normal para demostrar esto será hallarlo. Pero a lo mejor podría darse algún caso en que se pudiera demostrar que existe sin necesidad de hallarlo. Por eso vamos a dejar la definición como ha sido siempre mientras no haya alguna autoridad que lo cambie.
No, no se olvidan de que el por puede ser 4. Es que el por no puede ser cuatro, por eso la definición de límite tiene estricta la desigualdad 0 < |x - 4| para que x no pueda valer 4. Piensa que el límite cuando x--> a se calcula muchas veces para puntos en los que la función no está definida en por = a, si se tomara ese punto no tendría sentido lo de |f(a) - L| < epsilon porque f no estaría definida en es punto. El límite es lo que pasa en puntos infinitamente cerca del punto a pero sin ser él.
c) El epsilon no lo eliges tú. El epsilon es cualquier numero mayor que cero, sea cual sea ( y en particular puando sea muy pequeño) tienes que demostrar que existe un intervalo de a de radio delta donde todos los puntos, salvo el propio a, cumplen que el valor de la función está a una distancia al límite menor que epsilon.
d) En el cálculo de límites a pelo hay que usar todos los trucos y artimañas que podamos y se nos ocurran. El usar el mínimo de dos deltas es de lo más normal del mundo. Tu has demostrado que los puntos de un intervalo d1 en torno a "a" cumplían una propiedad y quie los de otro intervlo d2 en torno a "a" cumplián otra, si tomas la intersección, (que al ser intervalos con el mismo centro es el más pequeño de los dos) tendrás un nuevo intervalo en el que sus valores (salvo el propio a) cumplen las dos propiedades. Y lo que te decía, no hay un mecanismo establecido de como se razona al calcular un límite, lo que pueda hacerse y esté bien hecho, sirve.
e) considero que el correcto sería 2/3 <|x-2|<2 U -2<|x-2|<-2/3 ?
No se que quieres decir en esta parte pero eso que pones no puede estar bien, has cambiado el signo en el 2 y 2/3 pero no lo has hecho en |x-2| estás contraviniendo las reglas de las ecuaciones e inecuaciones.
Bueno, lo dejo ya que me has hecho pensar mucho y me echa humo la cabeza.
Si, está perfecto, al tomar d = min{d1,d2} aseguras que se cumpla |f(x)-2|<e.
En el ejemplo hay dos línea que dices:
Elegimos así d=e/3>0, y vemos por los cálculos hechos que si por satisface
0<|x-4|<d=e/3 entonces|x-4|<d=e/3
Eso es redundante lo que deberías poner en la segunda línea es:
0<|x-4|<d=e/3 entonces |f(x)-12|=|3x-12|=3|x-4|<3e/3 = e
La definición de límite es:
limite cuando x --> a de f(x) es igual a L si y solo si para todo epsilon > 0 existe un delta > 0 tal que si 0 < |x- delta| < 0 entonces |f(x) - L| < epsilon
Nos piden que demostremos que existe un delta. Lo normal para demostrar esto será hallarlo. Pero a lo mejor podría darse algún caso en que se pudiera demostrar que existe sin necesidad de hallarlo. Por eso vamos a dejar la definición como ha sido siempre mientras no haya alguna autoridad que lo cambie.
No, no se olvidan de que el por puede ser 4. Es que el por no puede ser cuatro, por eso la definición de límite tiene estricta la desigualdad 0 < |x - 4| para que x no pueda valer 4. Piensa que el límite cuando x--> a se calcula muchas veces para puntos en los que la función no está definida en por = a, si se tomara ese punto no tendría sentido lo de |f(a) - L| < epsilon porque f no estaría definida en es punto. El límite es lo que pasa en puntos infinitamente cerca del punto a pero sin ser él.
c) El epsilon no lo eliges tú. El epsilon es cualquier numero mayor que cero, sea cual sea ( y en particular puando sea muy pequeño) tienes que demostrar que existe un intervalo de a de radio delta donde todos los puntos, salvo el propio a, cumplen que el valor de la función está a una distancia al límite menor que epsilon.
d) En el cálculo de límites a pelo hay que usar todos los trucos y artimañas que podamos y se nos ocurran. El usar el mínimo de dos deltas es de lo más normal del mundo. Tu has demostrado que los puntos de un intervalo d1 en torno a "a" cumplían una propiedad y quie los de otro intervlo d2 en torno a "a" cumplián otra, si tomas la intersección, (que al ser intervalos con el mismo centro es el más pequeño de los dos) tendrás un nuevo intervalo en el que sus valores (salvo el propio a) cumplen las dos propiedades. Y lo que te decía, no hay un mecanismo establecido de como se razona al calcular un límite, lo que pueda hacerse y esté bien hecho, sirve.
e) considero que el correcto sería 2/3 <|x-2|<2 U -2<|x-2|<-2/3 ?
No se que quieres decir en esta parte pero eso que pones no puede estar bien, has cambiado el signo en el 2 y 2/3 pero no lo has hecho en |x-2| estás contraviniendo las reglas de las ecuaciones e inecuaciones.
Bueno, lo dejo ya que me has hecho pensar mucho y me echa humo la cabeza.
Gracias por verificar que es correcto, no tengo dudas en c) ni en duda d).
b)Tienes razón nos piden que probemos que existe delta y no nos dicen halle delta, como tú dices hay casos en las cuales no es necesario hallar para saber que existe,
Pero siendo más preciso considero que debe decir.
[Dada f(x)=3x, pruebe que para cada e>0 existe al menos algún correspondiente d>0 que satisface que: Si 0<|x-4|<d entonces|f(x)-12|<e.]
Lo digo porque un vez hallado el delta en función de epsilon, cumplen valores que son menores que aquel delta. No sé si estoy siendo claro pero te mando un ejemplo sencillo.
En el ej visto, no en el problema( En la parte superior).Consideremos e=0.001, entonces d=min{1,e/2}=min{1,(10^(-4))/2} entonces d=0,0005. Pudimos haber elegido cualquier d tal que 0<d<0.0005 y tambien sería válido por ejemplo:d=0.002, d=0.001, etc.Entonces para e=0,001 tenemos d=0.005; también e=0,001tenemos d=0.002 ¿entonces para un epsilon no hay sólo un delta.?
e)En esta parte 2/3<2/x-2<2 entonces 2/3<(2/|x-2|)<2, tambien se podria hallar un intervalo para |f(x)-2|, hemos hallado una cota que creo que es la inferior<e pero tambien podemos acotar por el otro extremo que creo que es una cota superior ¿no es cierto?
f)Como te puedes dar cuenta en el problema, hallamos valores para delta en función de un epsilon efectivamente los valores menores al delta hallado cumplen tambien; pero estaría obviando valores de delta que son mayores que delta que también cumplen ¿verdad?(Considero que mi proposición es cierta ya que al elegir distintos deltas convenientes para hallar otro delta obtengo distintos valores de delta que demuestran que exista delta que cumple, pero no nos arrojan resultado como un intervalo de valores en las cuales abarque a todos loss deltas en función de epsilon)¿Es correcto?
Un saludo.
b)Tienes razón nos piden que probemos que existe delta y no nos dicen halle delta, como tú dices hay casos en las cuales no es necesario hallar para saber que existe,
Pero siendo más preciso considero que debe decir.
[Dada f(x)=3x, pruebe que para cada e>0 existe al menos algún correspondiente d>0 que satisface que: Si 0<|x-4|<d entonces|f(x)-12|<e.]
Lo digo porque un vez hallado el delta en función de epsilon, cumplen valores que son menores que aquel delta. No sé si estoy siendo claro pero te mando un ejemplo sencillo.
En el ej visto, no en el problema( En la parte superior).Consideremos e=0.001, entonces d=min{1,e/2}=min{1,(10^(-4))/2} entonces d=0,0005. Pudimos haber elegido cualquier d tal que 0<d<0.0005 y tambien sería válido por ejemplo:d=0.002, d=0.001, etc.Entonces para e=0,001 tenemos d=0.005; también e=0,001tenemos d=0.002 ¿entonces para un epsilon no hay sólo un delta.?
e)En esta parte 2/3<2/x-2<2 entonces 2/3<(2/|x-2|)<2, tambien se podria hallar un intervalo para |f(x)-2|, hemos hallado una cota que creo que es la inferior<e pero tambien podemos acotar por el otro extremo que creo que es una cota superior ¿no es cierto?
f)Como te puedes dar cuenta en el problema, hallamos valores para delta en función de un epsilon efectivamente los valores menores al delta hallado cumplen tambien; pero estaría obviando valores de delta que son mayores que delta que también cumplen ¿verdad?(Considero que mi proposición es cierta ya que al elegir distintos deltas convenientes para hallar otro delta obtengo distintos valores de delta que demuestran que exista delta que cumple, pero no nos arrojan resultado como un intervalo de valores en las cuales abarque a todos loss deltas en función de epsilon)¿Es correcto?
Un saludo.
Si claro, es lo normal. Una vez que has demostrado que un delta que lo cumple, cualquier delta menor que ese también lo cumple por definición, ya que lo que haces es tomar un subconjunto de un conjunto de puntos que cumplían, luego este subconjunto definido por un delta más pequeño sigue cumpliendo lo de la proximidad menor que epsilon de todos los valores de la función al límite.
Pero lo que te piden es demostrar que existe uno al menos, los demás son triviales, como el replegar las cartas de un solitario cuando ya se ve que sale. Supongo que por economía de lenguaje se omite lo de al menos uno.
e) No llego a entenderte.
Déjame que te lo cuente a mi manera.
Tienes que demostrar que existe un d>0 tal que para todo por que cumpla 0<|x-4|<d se cumple |f(x)-2|<e.
|f(x)-2|=|4/(x-2)-2|=|(4-2x+4)/(x-2)|=2|x-4|/|x-2|
Para poder enlazar esta desigualdad con la 0<|x-4|<d te molesta 2 / |x-2| y lo conveniente es hallar una cota superior para 2 / |x-2| en un entorno razonablemente cercano a x = 4, no hace falta una cota para un intervalo muy grande en torno al punto donde se calcula el límite. En un entorno de radio d1 tenemos:
2/|3-2| = 2
2/|5-2| = 2/3
Y sabemos, y sino puede demostrarse, que 2 / |x-2| es estrictamente decreciente en ese intervalo [3,5]
luego la cota superior es 2 y entonces podremos escribir:
Si 0 <|x-4|<1
|f(x)-2| = |4/(x-2)-2| = |(4-2x+4)/(x-2)| = 2|x-4|/|x-2| < 2|x-4|
Ya lo tenemos todo a huevo, si ahora tomamos tomamos d =mín{1, e/2} tendremos que:
Si 0 < |x-4| < d se cumplirá
|f(x)-2| < 2|x-4| por ser d <= 1
y por lo tanto |f(x)-2| < 2·e/2 = e por ser |x-4| <= e/2
Luego en resumen, que tendremos |f(x)-2| < e.
f) Dado un epsilon, existirá un supremo (ojo que supremo no es exactamente igual que máximo) para el conjunto de los delta que verifican la condición para ese epsilon. Lo que pasa es que nuestro cometido no es encontrar ese supremo, es encontrar simplemente un elemento del conjunto de deltas cumplidores. Durante el camino habrás tenido que usar algunas acotaciones fijas de delta, pero al final lo que acaba terminar la demostración sule ser una relación entre delta y epsilon. Si has ido afinando bien los cálculos podrás decir, este es el delta más grande que lo cumple, si tomo otro un pelín mayor ya no sirve. O esto otro, este no lo cumple pero restándole cualquier cosa ya lo cumple.
Y eso es todo, espero que lo vayas entendiendo. Ahora dejo de nuevo el ordenador.
Pero lo que te piden es demostrar que existe uno al menos, los demás son triviales, como el replegar las cartas de un solitario cuando ya se ve que sale. Supongo que por economía de lenguaje se omite lo de al menos uno.
e) No llego a entenderte.
Déjame que te lo cuente a mi manera.
Tienes que demostrar que existe un d>0 tal que para todo por que cumpla 0<|x-4|<d se cumple |f(x)-2|<e.
|f(x)-2|=|4/(x-2)-2|=|(4-2x+4)/(x-2)|=2|x-4|/|x-2|
Para poder enlazar esta desigualdad con la 0<|x-4|<d te molesta 2 / |x-2| y lo conveniente es hallar una cota superior para 2 / |x-2| en un entorno razonablemente cercano a x = 4, no hace falta una cota para un intervalo muy grande en torno al punto donde se calcula el límite. En un entorno de radio d1 tenemos:
2/|3-2| = 2
2/|5-2| = 2/3
Y sabemos, y sino puede demostrarse, que 2 / |x-2| es estrictamente decreciente en ese intervalo [3,5]
luego la cota superior es 2 y entonces podremos escribir:
Si 0 <|x-4|<1
|f(x)-2| = |4/(x-2)-2| = |(4-2x+4)/(x-2)| = 2|x-4|/|x-2| < 2|x-4|
Ya lo tenemos todo a huevo, si ahora tomamos tomamos d =mín{1, e/2} tendremos que:
Si 0 < |x-4| < d se cumplirá
|f(x)-2| < 2|x-4| por ser d <= 1
y por lo tanto |f(x)-2| < 2·e/2 = e por ser |x-4| <= e/2
Luego en resumen, que tendremos |f(x)-2| < e.
f) Dado un epsilon, existirá un supremo (ojo que supremo no es exactamente igual que máximo) para el conjunto de los delta que verifican la condición para ese epsilon. Lo que pasa es que nuestro cometido no es encontrar ese supremo, es encontrar simplemente un elemento del conjunto de deltas cumplidores. Durante el camino habrás tenido que usar algunas acotaciones fijas de delta, pero al final lo que acaba terminar la demostración sule ser una relación entre delta y epsilon. Si has ido afinando bien los cálculos podrás decir, este es el delta más grande que lo cumple, si tomo otro un pelín mayor ya no sirve. O esto otro, este no lo cumple pero restándole cualquier cosa ya lo cumple.
Y eso es todo, espero que lo vayas entendiendo. Ahora dejo de nuevo el ordenador.
Muchas gracias por las aclaraciones, eso sí ya sé que el problema me pide lo que tu me dices.Lo que pasa es que nuestro cometido no es encontrar ese supremo, es encontrar simplemente un elemento del conjunto de deltas cumplidores. Lo que quería saber también es si en caso de modificar el problema tal que me pida también ¨el intervalo de valores de delta en función de epsilon¨¿qué hago?.
Un saludo.
Un saludo.
¡Ay Fabian! Me vas a matar con tus preguntas. Cuando seas tan reiterativo o introduzcas nuevas preguntas cierra la anterior y plantea una nueva. Que la bruja y el experto en SIDA no gastan ni una milésima parte de la energía psíquica que yo en algunas preguntas y tienen los mismos puntos.
Esta es la gráfica de |2(x-4)/(x-2)|
A primera vista se ve que tendremos que tomar delta < 2, porque si no nos metemos en el punto discontinuo y la función ahi es mayor que cualquier epsilon. Dado el epsilon hallaremos los cortes de la recta y = epsilon con la función y elegiremos el que esté más cerca de 4. Ese valor menos 4 será el delta máximo.
No se ve aquí pero te diré que la función valor absoluto ha invertido la parte entre 2 y 4 respecto de la función sin módulo. Luego los cortes entre 2 y 4 se obtienen poniendo la función con signo cambiado.
Calculamos pues los dos cortes
a) - 2(x-4)/(x-2) = e
b) 2(x-4)/(x-2) = e
a) -2x + 8 = ex - 2e
(e+2)x = 8 + 2e
x = (8+2e) / (e+2)
Cuando epsilon --> infinito el limite es 2
Cuando epsilon --> 0 el límite es 4
luego x entre 2 y 4 ==> delta entre 2 y 0
b) 2x - 8 = ex - 2e
(e-2)x = 2e - 8
x = (2e - 8) / (e-2)
Cuando epsilon --> infinito el límite es 2
Cuando epsilon --> 0 el límite es 4
luego x entre 2 y cuatro ==> delta entre 2 y 0
Ahora veamos cual está más cerca de 4
a) Hay que restarlo de 4
4 - (8+2e) / (e+2) = (4e + 8 - 8 - 2e) / (e+2) = 2e/(e+2) = 2e/(2+e)
b) Hay que restarle 4
(2e - 8) / (e-2) - 4 = (2e - 8 - 4e +8) / (e-2) = -2e / (e-2) = 2e/(2-e)
Si comparamos rápidamente 2e/(2+e) con 2e/(2-e) tendremos
2e/(2+e) - 2e/(2-e) = -4e^2 / (4-e^2) que es negativo, luego
2e/(2+e) < 2e/(2-e)
Y ya está, d = 2e/(2+e) es el máximo delta que podemos tomar para ese epsilon que nos han dado.
Y eso es todo.
Esta es la gráfica de |2(x-4)/(x-2)|
A primera vista se ve que tendremos que tomar delta < 2, porque si no nos metemos en el punto discontinuo y la función ahi es mayor que cualquier epsilon. Dado el epsilon hallaremos los cortes de la recta y = epsilon con la función y elegiremos el que esté más cerca de 4. Ese valor menos 4 será el delta máximo.
No se ve aquí pero te diré que la función valor absoluto ha invertido la parte entre 2 y 4 respecto de la función sin módulo. Luego los cortes entre 2 y 4 se obtienen poniendo la función con signo cambiado.
Calculamos pues los dos cortes
a) - 2(x-4)/(x-2) = e
b) 2(x-4)/(x-2) = e
a) -2x + 8 = ex - 2e
(e+2)x = 8 + 2e
x = (8+2e) / (e+2)
Cuando epsilon --> infinito el limite es 2
Cuando epsilon --> 0 el límite es 4
luego x entre 2 y 4 ==> delta entre 2 y 0
b) 2x - 8 = ex - 2e
(e-2)x = 2e - 8
x = (2e - 8) / (e-2)
Cuando epsilon --> infinito el límite es 2
Cuando epsilon --> 0 el límite es 4
luego x entre 2 y cuatro ==> delta entre 2 y 0
Ahora veamos cual está más cerca de 4
a) Hay que restarlo de 4
4 - (8+2e) / (e+2) = (4e + 8 - 8 - 2e) / (e+2) = 2e/(e+2) = 2e/(2+e)
b) Hay que restarle 4
(2e - 8) / (e-2) - 4 = (2e - 8 - 4e +8) / (e-2) = -2e / (e-2) = 2e/(2-e)
Si comparamos rápidamente 2e/(2+e) con 2e/(2-e) tendremos
2e/(2+e) - 2e/(2-e) = -4e^2 / (4-e^2) que es negativo, luego
2e/(2+e) < 2e/(2-e)
Y ya está, d = 2e/(2+e) es el máximo delta que podemos tomar para ese epsilon que nos han dado.
Y eso es todo.
! Hola!
Comprendo que a veces resulta un poco fastidioso preguntar tanto, pero tengo interés en aprender.
Tienes razón en decir que debí haber cerrado las preguntas de cálculo integral ya que aún no tengo muchas nociones acerca del tema de C.Integral, veo que es un tema amplio, no me despejo las dudas, pensé que era un poco más sencillo.
Tu respuesta es excelente pero hay una pequeña parte que no entiendo. Dado el epsilon hallaremos los cortes de la recta y = epsilon con la función y elegiremos el que esté más cerca de 4. Ese valor menos 4 será el delta máximo.
Quizás no entiendo o es algo obvio pero no me acuerdo.
Un saludo
Comprendo que a veces resulta un poco fastidioso preguntar tanto, pero tengo interés en aprender.
Tienes razón en decir que debí haber cerrado las preguntas de cálculo integral ya que aún no tengo muchas nociones acerca del tema de C.Integral, veo que es un tema amplio, no me despejo las dudas, pensé que era un poco más sencillo.
Tu respuesta es excelente pero hay una pequeña parte que no entiendo. Dado el epsilon hallaremos los cortes de la recta y = epsilon con la función y elegiremos el que esté más cerca de 4. Ese valor menos 4 será el delta máximo.
Quizás no entiendo o es algo obvio pero no me acuerdo.
Un saludo
Recuerdo que de significa delta y e epsilon.
Cuando decimos 0 < |x-4| < d, estamos diciendo los puntos que están en un radio delta del 4. Tenemos que encontrar el delta suficientemente pequeño que para en todos esos puntos su cumpla [f(x) - 2| < e. Hemos calculado los dos puntos de intersección:
|f(x) -2| = e
Y por la gráfica o si hiciera falta se demuestra aniliticamente, sabemos que entre esos dos puntos se cumple |f(x) -2| < e mientras que fuera |f(x) - 2| > e
Esos dos puntos de intersección no están a igual distancia del 4, a nosotros nos piden un radio alrededor del 4 donde se cumpla |f(x) -2| < e, si tomamos como radio la menor distancia del los dos puntos al cuatro, todos los puntos dentro cumplirán |f(x) -2| < e mientras que si tomaramos la máxima distancia, entonces por el otro lado estaríamos añadiendo un trozo donde |f(x) -2| > e y no se cumpliría la condición de la definición de límite para ese delta.
No está muy bien el dibujo porque quedó muy pequeño por aprovechar el que ya tenía, pero algo se verá. En amarillo el intervalo
0 < |x-4| < d = 2e/(2+e)
donde se cumple
[f(x) - 2 | < e
Y eso es todo, espero que ahora ya lo entiendas y está bien que tengas interés.
Cuando decimos 0 < |x-4| < d, estamos diciendo los puntos que están en un radio delta del 4. Tenemos que encontrar el delta suficientemente pequeño que para en todos esos puntos su cumpla [f(x) - 2| < e. Hemos calculado los dos puntos de intersección:
|f(x) -2| = e
Y por la gráfica o si hiciera falta se demuestra aniliticamente, sabemos que entre esos dos puntos se cumple |f(x) -2| < e mientras que fuera |f(x) - 2| > e
Esos dos puntos de intersección no están a igual distancia del 4, a nosotros nos piden un radio alrededor del 4 donde se cumpla |f(x) -2| < e, si tomamos como radio la menor distancia del los dos puntos al cuatro, todos los puntos dentro cumplirán |f(x) -2| < e mientras que si tomaramos la máxima distancia, entonces por el otro lado estaríamos añadiendo un trozo donde |f(x) -2| > e y no se cumpliría la condición de la definición de límite para ese delta.
No está muy bien el dibujo porque quedó muy pequeño por aprovechar el que ya tenía, pero algo se verá. En amarillo el intervalo
0 < |x-4| < d = 2e/(2+e)
donde se cumple
[f(x) - 2 | < e
Y eso es todo, espero que ahora ya lo entiendas y está bien que tengas interés.
! Ay! Que se me había olvidado incrustar la imagen, aquí está.
Ahora si veo todo más claro, de verdad eres muy buen profesor, tienes paciencia y muy buenas explicaciones. Una excelente solución.
Un saludo.
Un saludo.