Calculo de limites

Si "sustituimos" por por infinito nos dará
(infinito - infinito) / (infinito - infinito)
Pero se ve claramente que los dos infinitos del numerador son iguales entre si, la diferencia es despreciable, y los dos del denominador también son iguales entre si.
Eso nos daría un 0 / 0, pero la tendencia a cero no es la misma en el numerador y denominador. Hay que hacer cuentas para averiguar el límite.
Ya te decía en un ejercicio anterior que se iba a usar muchas veces lo del producto notable
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
Y aquí por partida doble.
Primero multiplicamos y dividimos por el denominador con signo + entre los términos. Lo pondré en dos líneas por si no cabe, en la primera el numerador y en la segunda el denominador
[sqrt(2x+1)-sqrt(2x-1)]·[sqrt(x+1)+sqrt(x-1)] /
([sqrt(x+1)-sqrt(x-1)]·[sqrt(x+1)+sqrt(x-1)]) =
[sqrt(2x+1)-sqrt(2x-1)]·[sqrt(x+1)+sqrt(x-1)] / [x+1 - (x-1)] =
[sqrt(2x+1)-sqrt(2x-1)]·[sqrt(x+1)+sqrt(x-1)] / 2 =
Hacemos lo mismo multiplicando y dividiendo ahora por el numerador original con signo + entre los términos, de nuevo usaré dos líneas con numerador y denominador
[sqrt(2x+1)+sqrt(2x-1)]·[sqrt(2x+1)-sqrt(2x-1)]·[sqrt(x+1)+sqrt(x-1)] /
(2·[sqrt(2x+1)+sqrt(2x-1)]) =
[2x+1 -(2x-1)][sqrt(x+1)+sqrt(x-1)] / (2·[sqrt(2x+1)+sqrt(2x-1)])=
2[sqrt(x+1)+sqrt(x-1)] / (2·[sqrt(2x+1)+sqrt(2x-1)]) =
[sqrt(x+1)+sqrt(x-1)] / [sqrt(2x+1)+sqrt(2x-1)] =
2sqrt(x+1) / [2sqrt(2x+1)] =
sqrt(x+1) / sqrt(2x+1)] =
sqrt[(x+1) / (2x+1)] =
Dividiendo los polinomios
sqrt (1/2 + 1/[2(x+1)])
Y ahora ya podemos tomar el límtite cuando por --> infinito, el segundo sumando tenderá a cero porque el numerador tenderá a infinito luego
lim x-->infinito sqrt(1/2 + 1/[2(x+1)]) = sqrt(1/2)
Así que el límite pedido es:
sqrt(1/2)
Si quieres racionalizar denominadores (que no se porque se empeñaban tanto en enseñarnos eso) será:
sqrt(2)/2
Y finalmente la aproximación decimal que es lo que más nos suele orientar:
0,7071067
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido. NO olvides puntuar.