Anónimo
Ayuda para hallar la solución a un problema de matemáticas
Hola!
De nuevo con otra duda.
Dada la funcion y=f(x)=(x^2)-2x+4, halle f inversa sabiendo que Rang(f)=[3,00> y que (0,4) pertenece a f. Indique que ademas el dominio de f.
Sol) Yo obtengo 2 respuestas distintas al problema.
1) Mi primera solución es:
Al evaluar el punto (0,4) efectivamente cumple y no hay ningún problema entonces el dominio de la función E (R), entonces considero que para esa función no habría inversa en aquel dominio porque tendría que ser una función inyectiva y no lo es.
2) Mi segunda solución es:
Esta ecuacion: y=f(x)=(x^2)-2x+4 es equivalente a y=((x-1)^2 )+3 a su vez es equivalente a x-1=+-sqrt(y-3) ¿?
Y si lo ultimo es válido entonces evaluando el punto (0,4) seria 0-1=+-sqrt(4-3) entonces -1=+-1 en donde elegimos(-):
entonces descubrimos que la ecuación de la funcion es x-1=-sqrt(y-3)entonces la funcion inversa de y = x=1-sqrt(y-3)=, entonces y E [3,00>=Dominio de la funcion inversa.
Ademas, el Domf=Rang f inversa=<-00,1]
Ojo que se cumple que el dominio de la función inversa= rango de la función.
¿Cuál de las 2 soluciones es correcta?
Un saludo
De nuevo con otra duda.
Dada la funcion y=f(x)=(x^2)-2x+4, halle f inversa sabiendo que Rang(f)=[3,00> y que (0,4) pertenece a f. Indique que ademas el dominio de f.
Sol) Yo obtengo 2 respuestas distintas al problema.
1) Mi primera solución es:
Al evaluar el punto (0,4) efectivamente cumple y no hay ningún problema entonces el dominio de la función E (R), entonces considero que para esa función no habría inversa en aquel dominio porque tendría que ser una función inyectiva y no lo es.
2) Mi segunda solución es:
Esta ecuacion: y=f(x)=(x^2)-2x+4 es equivalente a y=((x-1)^2 )+3 a su vez es equivalente a x-1=+-sqrt(y-3) ¿?
Y si lo ultimo es válido entonces evaluando el punto (0,4) seria 0-1=+-sqrt(4-3) entonces -1=+-1 en donde elegimos(-):
entonces descubrimos que la ecuación de la funcion es x-1=-sqrt(y-3)entonces la funcion inversa de y = x=1-sqrt(y-3)=, entonces y E [3,00>=Dominio de la funcion inversa.
Ademas, el Domf=Rang f inversa=<-00,1]
Ojo que se cumple que el dominio de la función inversa= rango de la función.
¿Cuál de las 2 soluciones es correcta?
Un saludo
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Tengo una duda nada más que empieza el enunciado:
"sabiendo que Rang(f)=[3,00> y que (0,4) pertenece a f"
No aparece claro cuál es el rango, no sé si quieres decir [3, +infinito). Pero eso es mucho suponer. Vale, ya veo que lo empleas más veces, luego ya lo entiendo.
Cuando una función no es inyectiva, la correspondencia inversa no es una función porque presenta varias imágenes para algunos o todos los valores de la variable independiente. Entonces hay que separar esa correpondencia en varias ramas de modo que cada una sea inyectiva.
Es el caso de la parábola, cuya inversa se separa en dos ramas que cada una de ellas va desde el vértice hasta el infinito,+infinito si el coeficiente director es positivo o -infinito si es negativo dicho coeficiente. Esto podrías verlo fácilmente si haces la gráfica y la reflejas sobre el eje X.
Entonces este problema te dice que el punto (0,4) pertenece a f para que así elijas una de las dos ramas de la correpondencia inversa y esa rama sí que será una función.
Y efectivamente, la rama de la correpondencia inversa que debes tomar es:
y = (Inv f)(x) = 1 - sqrt(x-3)
Cuyo dominio es [3, +infinito)
Y el rango (-infinito, 1]
Mientras que la parte de f que se corresponde con esta inversa es
y =f(x)=x^2 - 2x + 4
En el dominio (-infinito, 1]
Y con rango [3, +infinito)
Donde puedes ver como se intercambian los rangos con los dominios entre la función y la inversa.
Resumiendo, que la solución buena es la segunda.
Y eso es todo. Si no te quedó claro algo vuelve a consultarme.
"sabiendo que Rang(f)=[3,00> y que (0,4) pertenece a f"
No aparece claro cuál es el rango, no sé si quieres decir [3, +infinito). Pero eso es mucho suponer. Vale, ya veo que lo empleas más veces, luego ya lo entiendo.
Cuando una función no es inyectiva, la correspondencia inversa no es una función porque presenta varias imágenes para algunos o todos los valores de la variable independiente. Entonces hay que separar esa correpondencia en varias ramas de modo que cada una sea inyectiva.
Es el caso de la parábola, cuya inversa se separa en dos ramas que cada una de ellas va desde el vértice hasta el infinito,+infinito si el coeficiente director es positivo o -infinito si es negativo dicho coeficiente. Esto podrías verlo fácilmente si haces la gráfica y la reflejas sobre el eje X.
Entonces este problema te dice que el punto (0,4) pertenece a f para que así elijas una de las dos ramas de la correpondencia inversa y esa rama sí que será una función.
Y efectivamente, la rama de la correpondencia inversa que debes tomar es:
y = (Inv f)(x) = 1 - sqrt(x-3)
Cuyo dominio es [3, +infinito)
Y el rango (-infinito, 1]
Mientras que la parte de f que se corresponde con esta inversa es
y =f(x)=x^2 - 2x + 4
En el dominio (-infinito, 1]
Y con rango [3, +infinito)
Donde puedes ver como se intercambian los rangos con los dominios entre la función y la inversa.
Resumiendo, que la solución buena es la segunda.
Y eso es todo. Si no te quedó claro algo vuelve a consultarme.
Claro, esa función de la parábola no es inyectiva en todos los reales, pero puede ser inyectiva dependiendo del dominio, en este caso sólo me dice que el punto(0,4) pertenece a la función. En el problema me piden que halle la función inversa entonces ¿se entiende que la función tiene inversa o es necesario que me aclaren que existe la inversa para un cierto dominio?
Un saludo.
Un saludo.
Dada la funcion y=f(x)=(x^2)-2x+4, halle f inversa sabiendo que Rang(f)=[3,00> y que (0,4) pertenece a f. Indique que ademas el dominio de f.
Voy a leer el enunciado para ver que quieren exactamente.
Nos dicen que halle la inversa, luego se supone que existe. Pero nosotros sabemos quie existirá si tomamos un dominio en el que sea inyectiva. Porque basta que falle en un punto para que la correspondencia inversa no sea una función.
El dominio se supone que lo tendremos que tomar todo al mismo lado del vértice, si alternáramos un intervalo a un lado con uno al otro nos daría una función discontinua que no creo que la quieran.
Vale, pues de momento sabemos que hay que tomar un intervalo a un lado del vértice. Ahora nos dan el rango que es [3, +infinito) y eso nos quiere decir que el dominio de la función tiene que ser o toda la parte a la izquierda del vértice o toda la parte a la derecha, porque sino faltaría algún valor en el rango.
Y ya finalmente, cuando dicen que el (0,4) € f nos indican cual de las dos ramas de la parábola es la función f. Completando cuadrados vemos que él vértice es (1, 3)
y = f(x) = x^2 - 2x + 4 = (x-1)^2 + 3
y-3 = (x-1)^2 es la ecuación de una parábola con vértice en (1, 3)
Luego el punto (0,4) está a la izquierda del vértice. Y entonces la función f tendrá (-infinito, 1] como dominio y su inversa es:
y = (Inv f)(x) = 1 - sqrt(x-3)
Y eso es todo, yo creo que ahora está todo bien razonado. NO olvides puntuar.
Voy a leer el enunciado para ver que quieren exactamente.
Nos dicen que halle la inversa, luego se supone que existe. Pero nosotros sabemos quie existirá si tomamos un dominio en el que sea inyectiva. Porque basta que falle en un punto para que la correspondencia inversa no sea una función.
El dominio se supone que lo tendremos que tomar todo al mismo lado del vértice, si alternáramos un intervalo a un lado con uno al otro nos daría una función discontinua que no creo que la quieran.
Vale, pues de momento sabemos que hay que tomar un intervalo a un lado del vértice. Ahora nos dan el rango que es [3, +infinito) y eso nos quiere decir que el dominio de la función tiene que ser o toda la parte a la izquierda del vértice o toda la parte a la derecha, porque sino faltaría algún valor en el rango.
Y ya finalmente, cuando dicen que el (0,4) € f nos indican cual de las dos ramas de la parábola es la función f. Completando cuadrados vemos que él vértice es (1, 3)
y = f(x) = x^2 - 2x + 4 = (x-1)^2 + 3
y-3 = (x-1)^2 es la ecuación de una parábola con vértice en (1, 3)
Luego el punto (0,4) está a la izquierda del vértice. Y entonces la función f tendrá (-infinito, 1] como dominio y su inversa es:
y = (Inv f)(x) = 1 - sqrt(x-3)
Y eso es todo, yo creo que ahora está todo bien razonado. NO olvides puntuar.