Problem exponencial

Datos
C(0) = 5.000.000
C(f) = 55% 5.000.000= 2.750.000
t= 1m= 60 seg
K= ?
C(f)=C(0).e^-kt
reemplazo
2.750.000 = 5.000.000.e^k.60 seg
despejo K
2.750.000/5.000.000 = e^k.60 seg
0.55= e^k.60 seg
aplico neperiano a ambos miembros
ln 0.55 =k.60 ln e
ln 0.55/60 = k
-0.00996 = k
-----------
C(f) = 999 (<1000) puedo?
C(0)= 5.000.000
K= -0.00996
t = ?
acomodo
999 = 5.000.000 . E^-0.00996.t
despejo t
999/5000.000 = e^-0.00996. T
ln0.000199 = ln e^-0.00996.t
ln0.000199= -0.00996.t
ln0.000199/-0.00996 = t
855.64 seg =t
t= 14.26 minutos
Decime si esta bien. Gracias!

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Respuesta
1
Me alegro de recibir esta forma de resolver el problema. Sabía que existía y que quitaba el engorroso final del mío con el cambio de base de los logaritmos. Pero no me acordaba de la fórmula
C(f)=C(0).e^-kt
Y para deducirla había que usar ecuaciones diferenciales. Lo cual me pareció un poco fuerte y no se si tu las habrás estudiado, yo lo hice en tercero de carrera. Por eso me decanté por la otra forma donde la fórmula se deduce más fácil aunque el final trea ese cambio de base de logaritmos que siempre le he tenido manía y no me acordaba de la fórmula.
Repasemos un poco tu resolución:
Lo primero que veo es que quieres adoptar el tiempo en segundos. Eso está bien, pero siempre que te acuerdes que los datos y resultados irán en segundos.
La línea tercera de estas no está muy bien resuelta, aunque el resultado esté bien.
0.55= e^k.60 seg
aplico neperiano a ambos miembros
ln 0.55 =k.60 ln e
La conjunción de un logaritmo con una exponencial se resuelve así:
ln e^x = x
Pondré paréntesis o corchetes a la función ln para obtener la máxima comprensión. La aplicación correcta del logaritmo en nuestro caso sería:
ln(0,55) = ln [e^(60k)] = 60k
Sobra ese ln e que ponías, aunque por ser eso 1 no afectaba al resultado.
Cuando llegas a:
-0.00996 = k
Te quedas simplemente con 3 decimales significativos, eso es poco. Nunca hay que tener pereza para arrastrar cuantos decimales nos haya proporcionado la calculadora, en este caso:
K = - 0,00996395
Nunca se sabe si las operaciones posteriores serán muy sensibles al error que hemos cometido truncando decimales.
Luego supones 999 en lugar de 1000. Eso añade otro error de cálculo. Hay que usar 1000, y solo al final del todo es cuando si se quiere se modifica el resultado un poco al alza o a la baja para asegurarnos de que se cumple.
La exquisitez sería resolver la inecuación en vez de la ecuación:
5.000.000 . e^-0.00996395·t < 1000
Pero a veces resulta muy difícil averiguar si el signo de desigualdad cambia de sentido. Lo cual sucede cuando se multiplica por números negativos o se aplican funciones inversamente proporcionales en ambos miembros.
Por eso lo mejor es resolver la ecuación y saber que la naturaleza del problema nos dice que al final el resultado será mayor que lo que haya dado exactamente.
Otras cosillas: usas el . normal para indicar multiplicación. Hay que usar el punto que queda a media altura. No sé si en Argentina será el teclado igual que en España, aquí tenemos ese punto en la tecla con el numero 3. Entre eso y el punto decimal se puede crear algún problema. Otra cosa a la que yo me niego es al uso anglosajón del punto decimal en vez de la coma. No fueron ellos los que inventaron los números. Aunque a veces no te queda otro remedio que usarlo porque hay programas que no te dejan usar la coma. Tampoco hay que usar puntos para separar los miles en matemáticas, precisamente por esas confusiones de puntos y comas y no haber mantisas decimales con un número fijo de cifras, lo que nos puede llevar a ver cosas distintas de lo que son. Cuando escribas 9.002 se puede uno confundir síes nueve mil dos o nueve con 2 milésimas. Es un poco incomodo pero habrá que contar cifras en lo números grandes.
Pues con estas pequeñas correcciones resolvemos y da:
5000000 · e^-0,00996395·t = 1000
e^-0,00996395·t = 1000 / 5000000 = 0,0002
-0,00996395·t = ln 0,0002 = -8,5171932
t = -8,5171932 / -0,00996395 = 854,80517 seg
t = 854 min 48 seg
Y se suele dejar esa respuesta que es la (más o menos) exacta, añadiendo que debe ser mayor que eso y ya está.
O se explicita más:
t > 854 min 48 seg
t >= 854 min 48 seg
¡Uy, que desastre!
La parte final está mal que no convertí los segundos a minutos y segundos
parte entera de (854,80517 / 60) = 14 min
854,80517 - 14*60 = 14,80517 seg
La respuesta es:
t = 14 min 14,80517 seg
Perdona por el error.

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