Álgebra lineal

Hagamos primero el 2 que es mucho más sencillo.
2) El espacio vectorial es R3 y dentro de él, está el plano z= 0 es un subespacio de dimensión 2.
Esta formado por los vectores de forma (a, b, 0) con a, b de R
La base canónica es {(1,0,0) (0,1,0)}
En principio podemos tomar cualquier múltiplo y también sirve de base
{(a,0,0) (0,b,0)} con a y b distintos de cero
Y finalmente cualquier combinación
{(a,b,0) (c,d,0)} tal que formen un sistema linealmente independiente. Es decir que el determinante de la matriz 2x2 formada por {a b; c d} sea distinto de cero, ad-bc distinto de cero. Es lo mismo que decir que no sean proporcionales las filas a/c distinto de b/d
He aquí una base por ejemplo
{(1,2,0) (2,-3,0)}
donde 1·(-3) -2·2 = -7 distinto de cero
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1) Es lo mismo salvo que la dimensión es doce y por lo tanto más complicado.
La base canónica es la que tiene doce elementos, cada uno de ellos es una matriz 3x4 que tiene un 1 en una posición y cero en las otras, siendo además siempre distintas las posiciones que contienen el uno.
Igualmente que antes podemos tomar una base obvia que sería sobre la anterior poner 12 números distintos no nulos en lugar de todo unos.
Ahora vamos a construir una base menos obvia.
Para hacermos la idea colocaremos la matriz por filas ya que en este editor no se puede ni soñar con alinear las columnas de dos filas
a11, 0, 0,...
a11, a12, 0, 0,...
a11, a12, a13, 0, 0,...
a11, a12, a13, a14, 0, 0,...
a11, a12, a13, a14, a21, 0, 0, ...
a11, a12, a13, a14, a21, a22, 0, 0 ...
.
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a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a31, a32, a33, a34
Lo que se pide únicamente es que el último aij marcado en la descripción de cada elemento de la base sea distinto de cero y los siguientes todos cero. Loa aij anteriores al ultimo pueden ser todos, alguno o ninguno nulos.
Para ver que los elementos de la base son linealmente independientes consideremos que este espacio es isomorfo a R12 y por la forma que lo hemos construido el determinante de estos doce vectores será el producto de la diagonal principal, que como tampoco podía contener ningún cero es distinto de cero.
Así una base como esta:
1, 0, 0,....
1, 2, 0, 0, ...
1, 2, 3, 0, ...
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Y tantas otras como se pueden deducir de lo que te he dico te puede servir.