Necesito ayuda con este ejercicio de máximos y mínimos de matemáticas
URGENTE!.. Por favor ayúdenme con este problema de máximos y mínimos.
Un rectángulo tiene un área de 64 cm2. Dibuje una recta de una esquina del rectángulo al punto medio de uno de los dos lados más distantes. ¿Cuál es la longitud mínima posible de esta recta?
Gracias, de antemano.
Un rectángulo tiene un área de 64 cm2. Dibuje una recta de una esquina del rectángulo al punto medio de uno de los dos lados más distantes. ¿Cuál es la longitud mínima posible de esta recta?
Gracias, de antemano.
{"Lat":14.4842149464516,"Lng":-90.534725189209}
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Es una pena que no se pueda dibujar aquí. Te explico como es el gráfico.
Tenemos un rectángulo tiene base b, y altura a. De la esquina inferior izquierda lanzamos la recta al punto medio de la altura de la derecha. Lamamos h a ese segmento porque es la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma. Cuyos catetos son b y a/2, luego
h^2 = b^2 + (a/2)^2
por otro lado tenemos que el area del rectángulo es 64, luego:
a · b = 64 ==> b = 64/a
sustituyendo este valor de b arriba tenemos
h^2 = (64/a)^2 + (a/2)^2 = 4096 / (a^2) + (a^2)/4
Ya tenemos h dependiendo de una sola variable a. Tenemos que minimizar h, que es lo mismo que minimizar h^2, así nos evitamos las engorrosas derivadas de la raíz cuadrada. Derivamos respecto a "a" e igualamos a cero
h^2'(a) = -4096 (2a)/(a^4) + a/2 = -8192 /a^3 + a/2 = 0
a/ 2 = 8192/a^3
a^4 = 16384
a = (16384)^(1/4) = 11,313708
Solo tiene ese máximo o mínimo relativo. Sabemos que si estiramos mucho a o b nos da toda la longitud que queramos, luego por ser continua la función es un mínimo.
Ahora vamos a la fórmula para calcular cuál es esta longitud mínima.
h = sqrt((64/a)^2 + (a/2)^2) = sqrt(64/11,313708)^2 +(11,313708/2)^2) =
sqrt(32+32) =sqrt(64) = 8
Luego la longitud máxima de dicho segmento de recta es 8 cm
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerra la pregunta.
Tenemos un rectángulo tiene base b, y altura a. De la esquina inferior izquierda lanzamos la recta al punto medio de la altura de la derecha. Lamamos h a ese segmento porque es la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma. Cuyos catetos son b y a/2, luego
h^2 = b^2 + (a/2)^2
por otro lado tenemos que el area del rectángulo es 64, luego:
a · b = 64 ==> b = 64/a
sustituyendo este valor de b arriba tenemos
h^2 = (64/a)^2 + (a/2)^2 = 4096 / (a^2) + (a^2)/4
Ya tenemos h dependiendo de una sola variable a. Tenemos que minimizar h, que es lo mismo que minimizar h^2, así nos evitamos las engorrosas derivadas de la raíz cuadrada. Derivamos respecto a "a" e igualamos a cero
h^2'(a) = -4096 (2a)/(a^4) + a/2 = -8192 /a^3 + a/2 = 0
a/ 2 = 8192/a^3
a^4 = 16384
a = (16384)^(1/4) = 11,313708
Solo tiene ese máximo o mínimo relativo. Sabemos que si estiramos mucho a o b nos da toda la longitud que queramos, luego por ser continua la función es un mínimo.
Ahora vamos a la fórmula para calcular cuál es esta longitud mínima.
h = sqrt((64/a)^2 + (a/2)^2) = sqrt(64/11,313708)^2 +(11,313708/2)^2) =
sqrt(32+32) =sqrt(64) = 8
Luego la longitud máxima de dicho segmento de recta es 8 cm
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerra la pregunta.
