Anónimo
Ayuda problema estadística!
Un número en sistema binario está compuesto sólo por dígitos 0 y 1. Si consideramos números binarios
de n dígitos y es p la probabilidad de que cualquier dígito sea incorrecto (se transforme de 0 ! 1 o de
1 ! 0), independientemente unos de otros; resuelve las siguientes cuestiones.
a) La probabilidad de que un número sea incorrecto.
b) En el supuesto de que el número de n dígitos sea incorrecto, la probabilidad de que lo sea únicamente
por un dígito.
c) La probabilidad aproximada de que un número contenga más de un dígito incorrecto, cuando n =
100 y p = 0,01.
d) La probabilidad aproximada de que en un mensaje cifrado con 1000 números como los anteriores
(n = 100 y p = 0,01) tenga más de 1 dígito incorrecto.
de n dígitos y es p la probabilidad de que cualquier dígito sea incorrecto (se transforme de 0 ! 1 o de
1 ! 0), independientemente unos de otros; resuelve las siguientes cuestiones.
a) La probabilidad de que un número sea incorrecto.
b) En el supuesto de que el número de n dígitos sea incorrecto, la probabilidad de que lo sea únicamente
por un dígito.
c) La probabilidad aproximada de que un número contenga más de un dígito incorrecto, cuando n =
100 y p = 0,01.
d) La probabilidad aproximada de que en un mensaje cifrado con 1000 números como los anteriores
(n = 100 y p = 0,01) tenga más de 1 dígito incorrecto.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
a) Un número será incorrecto si falla cualquiera de sus dígitos. Siendo p la probabilidad de fallar uno, la probabilidad de que el número sea incorrecto es n·p
P(el número sea incorrecto) = n·p
--------------------------
b) Se trata de una distribución binomial. La probabilidad pedida tiene como factores n porque cualquiera de los dígitos puede ser el incorrecto, p porque ese dígito elegido debe ser incorrecto y (1-p)^(n-1) porque los los otros n-1 dígitos deben ser correctos. Luego:
P(Sea incorrecto solo por un dígito) = n·p·(1-p)^(n-1)
--------------------------------
c) La probabilidad de que haya por dígitos incorrectos en una binomial es:
P(x incorrectos exactamente) = (n sobre x) (p^x) ((1-p)^(n-x))
En nuestro caso es
P(x incorrectos exactamente) = (100 sobre x) (0,01^x) (0,99^(n-x))
P(2 o más incorrectos) = 1 - P(0 incorrectos exactamente) - P(1 incorrecto exactamente)
P(2 o más incorrectos) = 1 - 1· (0,01^0)(0,99^100) - 100 (0,01) (0,99^99) =
1 - 0,3660323 - 0,3697296 = 0,264238
Durante años se nos ha dicho que esas operaciones eran demasiado laboriosas y nos sugerían aproximarla mediante una distribución normal. Eso es completamente falso hoy en la era de las calculadoras y ordenadores. Tampoco hoy se ve a los empleados de banca hacer las cuentas con tablas de logaritmos, ¿no? Luego tampoco deberíamos usar lo de la distribución normal. Pero el orden establecido es el orden establecido y lo que quieren es que uses la distribucíon normal y que yo me devane los sesos utilizando esa cosa obsoleta. Te mando lo realizado hasta este momento y sigo con el problema que ahora tengo que repasar estudios para seguir.
Un saludo.
Creo que este problema ya lo había resuelto. Te mando el resto de las partes ahora.
P(el número sea incorrecto) = n·p
--------------------------
b) Se trata de una distribución binomial. La probabilidad pedida tiene como factores n porque cualquiera de los dígitos puede ser el incorrecto, p porque ese dígito elegido debe ser incorrecto y (1-p)^(n-1) porque los los otros n-1 dígitos deben ser correctos. Luego:
P(Sea incorrecto solo por un dígito) = n·p·(1-p)^(n-1)
--------------------------------
c) La probabilidad de que haya por dígitos incorrectos en una binomial es:
P(x incorrectos exactamente) = (n sobre x) (p^x) ((1-p)^(n-x))
En nuestro caso es
P(x incorrectos exactamente) = (100 sobre x) (0,01^x) (0,99^(n-x))
P(2 o más incorrectos) = 1 - P(0 incorrectos exactamente) - P(1 incorrecto exactamente)
P(2 o más incorrectos) = 1 - 1· (0,01^0)(0,99^100) - 100 (0,01) (0,99^99) =
1 - 0,3660323 - 0,3697296 = 0,264238
Durante años se nos ha dicho que esas operaciones eran demasiado laboriosas y nos sugerían aproximarla mediante una distribución normal. Eso es completamente falso hoy en la era de las calculadoras y ordenadores. Tampoco hoy se ve a los empleados de banca hacer las cuentas con tablas de logaritmos, ¿no? Luego tampoco deberíamos usar lo de la distribución normal. Pero el orden establecido es el orden establecido y lo que quieren es que uses la distribucíon normal y que yo me devane los sesos utilizando esa cosa obsoleta. Te mando lo realizado hasta este momento y sigo con el problema que ahora tengo que repasar estudios para seguir.
Un saludo.
Creo que este problema ya lo había resuelto. Te mando el resto de las partes ahora.
Por supuesto que ¡Hola ! Que el otro era quien mandó antes el problema. ¿No serás el mismo?
La distribución normal que se usa para aproximar es la que tiene:
media = np = 100 · 0,01 = 1
desviación = sqrt(np(1-p)) = sqrt (100 · 0,01 · 0,99) = sqrt (0,99) = 0,9949874
P(2 o mas incorrectos) = 1 - P( 0 ó 1 incorrecto) = 1 - P(X <= 1,5)
Se normaliza la variable X con una Z = (X-media) / desviación = ((X-1) / 0,9949874)
P(2 o más mal) = 1 - P( Z <= (1,5 -1) / 0,9949874) = 1 - P(Z <= 0,5025189)=
Vamos a las tablas. Podemos escoger el valor para 0,502 o para 0,503. Mejor el promedio que es más o menos nuestro número
=1 - (0,6986 + 0,7019) / 2 = 1 - 0,70025 = 0,29975
Probabilidad aproximada por distribución normal para 2 o más fallos = 0,29975
Como puedes ver la aproximación no ha sido muy exacta. Eso se debe a que el valor de p era pequeño 0,01. En los libros se dice que p no debe ser ni grande ni pequeño, entre 0,1 y 0,9 para que la aproximación sea buena. Aparte también se recomienda n>30, eso si se cumplía.
Te mando esto de nuevo que la parte d) también me va a dar que pensar.
La distribución normal que se usa para aproximar es la que tiene:
media = np = 100 · 0,01 = 1
desviación = sqrt(np(1-p)) = sqrt (100 · 0,01 · 0,99) = sqrt (0,99) = 0,9949874
P(2 o mas incorrectos) = 1 - P( 0 ó 1 incorrecto) = 1 - P(X <= 1,5)
Se normaliza la variable X con una Z = (X-media) / desviación = ((X-1) / 0,9949874)
P(2 o más mal) = 1 - P( Z <= (1,5 -1) / 0,9949874) = 1 - P(Z <= 0,5025189)=
Vamos a las tablas. Podemos escoger el valor para 0,502 o para 0,503. Mejor el promedio que es más o menos nuestro número
=1 - (0,6986 + 0,7019) / 2 = 1 - 0,70025 = 0,29975
Probabilidad aproximada por distribución normal para 2 o más fallos = 0,29975
Como puedes ver la aproximación no ha sido muy exacta. Eso se debe a que el valor de p era pequeño 0,01. En los libros se dice que p no debe ser ni grande ni pequeño, entre 0,1 y 0,9 para que la aproximación sea buena. Aparte también se recomienda n>30, eso si se cumplía.
Te mando esto de nuevo que la parte d) también me va a dar que pensar.