Anónimo
Aplicación de derivadas
Quisiera que me ayudara en este problema :
Una hoja de papel debe contener 18cm cuadrados de texto impreso.Los margenes superior e inferior deben tener 2cm cada uno y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.
Gracias.
Una hoja de papel debe contener 18cm cuadrados de texto impreso.Los margenes superior e inferior deben tener 2cm cada uno y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.
Gracias.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Ya estoy de nuevo para respomder ahora a este otro problema. No sé si os estarán llegando las respuestas a los usuarios, la página parece muerta y no hay rastro desde hace muchas horas de que algún usuario haya finalizado una pregunta.
Vamos con el problema:
Llamemos b y h a la base y altura de la hoja. La superficie será:
S(b,h) = b·h
Con las condiciones que deben cumplirse intentaremos relacionar las dos variables para así poner la superficie en función de una sola de ellas.
La superficie útil será 18 cm y teniendo en cuenta que los margenes laterales son iguales entre sí y también lo son entre sí el superior e inferior, tenemos:
18 = (base - 2(margen lateral)) por (altura - 2(margen inferior))
18 = (b - 2·1)(h - 2·2) = (b-2)(h-4) ==>
h - 4 = 18 / (b-2) ==>
h = 4 + 18 / (b-2) [1]
De este modo sustituiremos h en la fórmula de la superficie ya la podremos función solamente de la base
S(b) = bh = b(4 + 18/(b-2)) = 4b +18 b/(b-2)
Ahora derivaremos la función superficie y la igualaremos a cero par aobtener los máximos, mínimos o lo que quiera salir.
S'(b) = 4 + 18 (b-2 - b) / ((b-2)^2) = 4 - 36 / ((b-2)^2) = 0 ==>
4 = 36 / ((b-2)^2) ==> 4(b-2)^2 = 36 ==> (b-2)^2 = 9 ==>
extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados:
b-2 = +-3
b = +-3 + 2 = 5 ó -1
Desechamos b=-1 por absurda y examinamos b = 5 en la segunda derivada. Como buscamos que sea un mínimo, la derivada segunda debería ser positiva, vamos a comprobarlo:
S''(b) = -36 (-2(b-2) / ((b-2)^4)) = 72 / ((b-2)^3)
cuyo valor en b=5 es
S''(5) = 72 / ((5-2)^3) = 72 / (3^3) = 72/27 > 0
Y se cumple lo que buscábamos y en b=5 hay un mínimo (relativo)
Base = 5 cm
Usando la igualdad marcada como [1] calculamos la altura:
h = 4 + 18 / (b-2) = 4 + 18 / (5 - 2) = 4 + 18/3 = 4 + 6 = 10
Altura = 10 cm
Y es o es todo, la hoja que cumple los requisitos pedidos y tiene menor gasto de papel es la que mide 5 cm de base y 10 cm de altura. Espero que te sirva, lo hallas entendido y hallas aprendido. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Vamos con el problema:
Llamemos b y h a la base y altura de la hoja. La superficie será:
S(b,h) = b·h
Con las condiciones que deben cumplirse intentaremos relacionar las dos variables para así poner la superficie en función de una sola de ellas.
La superficie útil será 18 cm y teniendo en cuenta que los margenes laterales son iguales entre sí y también lo son entre sí el superior e inferior, tenemos:
18 = (base - 2(margen lateral)) por (altura - 2(margen inferior))
18 = (b - 2·1)(h - 2·2) = (b-2)(h-4) ==>
h - 4 = 18 / (b-2) ==>
h = 4 + 18 / (b-2) [1]
De este modo sustituiremos h en la fórmula de la superficie ya la podremos función solamente de la base
S(b) = bh = b(4 + 18/(b-2)) = 4b +18 b/(b-2)
Ahora derivaremos la función superficie y la igualaremos a cero par aobtener los máximos, mínimos o lo que quiera salir.
S'(b) = 4 + 18 (b-2 - b) / ((b-2)^2) = 4 - 36 / ((b-2)^2) = 0 ==>
4 = 36 / ((b-2)^2) ==> 4(b-2)^2 = 36 ==> (b-2)^2 = 9 ==>
extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados:
b-2 = +-3
b = +-3 + 2 = 5 ó -1
Desechamos b=-1 por absurda y examinamos b = 5 en la segunda derivada. Como buscamos que sea un mínimo, la derivada segunda debería ser positiva, vamos a comprobarlo:
S''(b) = -36 (-2(b-2) / ((b-2)^4)) = 72 / ((b-2)^3)
cuyo valor en b=5 es
S''(5) = 72 / ((5-2)^3) = 72 / (3^3) = 72/27 > 0
Y se cumple lo que buscábamos y en b=5 hay un mínimo (relativo)
Base = 5 cm
Usando la igualdad marcada como [1] calculamos la altura:
h = 4 + 18 / (b-2) = 4 + 18 / (5 - 2) = 4 + 18/3 = 4 + 6 = 10
Altura = 10 cm
Y es o es todo, la hoja que cumple los requisitos pedidos y tiene menor gasto de papel es la que mide 5 cm de base y 10 cm de altura. Espero que te sirva, lo hallas entendido y hallas aprendido. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.