Determinar el valor de QUE en un sistema de ecuaciones
Hola! Bueno mi pregunta es como hallar el valor de que tal que tenga una solución, tenga infinitas soluciones o no tenga solución (incosistente) en sistemas de ecuaciones.
Por ejemplo.
Hallar el valor de QUE talque tenga una solución, infinitas soluciones o no tenga solución en los siguientes sistemas:
1)
a + Kb = 0
Ka + b = 0
2)
a+2b+Kc=6
3a+6b+8c=4
d)
ka+2ab+3Kc=4K
a+b+c=0
2a-b+c=1
¿Es encontrar el determinante donde se cumplan las condiciones det (sistema)=0 o det(sistema)?0, ¿Pero en casos donde no es cuadrado el sistema?
De antemano gracias
Por ejemplo.
Hallar el valor de QUE talque tenga una solución, infinitas soluciones o no tenga solución en los siguientes sistemas:
1)
a + Kb = 0
Ka + b = 0
2)
a+2b+Kc=6
3a+6b+8c=4
d)
ka+2ab+3Kc=4K
a+b+c=0
2a-b+c=1
¿Es encontrar el determinante donde se cumplan las condiciones det (sistema)=0 o det(sistema)?0, ¿Pero en casos donde no es cuadrado el sistema?
De antemano gracias
1 Respuesta
Respuesta de canalrev
1
Se resuelves calculando el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada, en el caso de las matrices cuadradas es haciendo el determinante, si no son cuadradas puedes hacerlo mediante los determinantes de de los menores de orden mayor.
1)
a + Kb = 0
Ka + b = 0
En este caso la matriz ampliada tiene el mismo grado que la matriz de coeficientes, ya que solo es añadirle una columna de ceros, por lo que nunca aumentaras su grado, eso quiere decir que al menos tiene una solución, el sistema es compatible (eso ya se sabia por que era un sistema homogéneo)
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes
| 1 k |
| k 1 |
Su determinante es 1-k^2 lo igualamos a 0 y dan las raíces 1 y -1.
Por lo que tiene rango 2 en todas lo valores de k excepto en 1 y -1 que tiene rango 1
Por lo que es compatible determinado (1 solución) en k distinto de 1 y -1 y compatible indeterminado (infinitas soluciones) en K igual a 1 y -1
2)
a+2b+Kc=6
3a+6b+8c=4
El rango de la matriz de coeficientes como mucho es dos y el número de variables es 3 por lo que nunca sera compatible determinado (no puede tener una única solución)
Si tomamos la matriz de coeficientes es 2x3 tomamos los menores de orden 2 para ver si rango
1 2
3 6 su determinante es 0 tiene rango 1
2 k
6 8 su determinante es 16-6k tiene rango 2 en k distinto de 8/3, y rango 1 en k=8/3
por lo que la matriz de coeficientes tiene tango 2 en k distinto de 8/3, y rango 1 en k=8/3
Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada
y tomando el mayor de orden 2
1 6
3 4 su determinante es -14 distinto de 0, por lo que tiene rango 2
En los valores de K donde el rango de la matriz ampliada sea mayor que la de coeficientes el sistema es incompatible (no tiene solución) en k=8/3 no tiene solución.
En el resto es compatible indeterminado.
d)
ka+2ab+3Kc=4K
a+b+c=0
2a-b+c=1
Tienes algún error, ya que no es un sistema de ecuaciones lineales, ya que en la primera esta el término 2ab que no es lineal (tiene grado 2)
Por lo que no lo puedes resolver así.
1)
a + Kb = 0
Ka + b = 0
En este caso la matriz ampliada tiene el mismo grado que la matriz de coeficientes, ya que solo es añadirle una columna de ceros, por lo que nunca aumentaras su grado, eso quiere decir que al menos tiene una solución, el sistema es compatible (eso ya se sabia por que era un sistema homogéneo)
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes
| 1 k |
| k 1 |
Su determinante es 1-k^2 lo igualamos a 0 y dan las raíces 1 y -1.
Por lo que tiene rango 2 en todas lo valores de k excepto en 1 y -1 que tiene rango 1
Por lo que es compatible determinado (1 solución) en k distinto de 1 y -1 y compatible indeterminado (infinitas soluciones) en K igual a 1 y -1
2)
a+2b+Kc=6
3a+6b+8c=4
El rango de la matriz de coeficientes como mucho es dos y el número de variables es 3 por lo que nunca sera compatible determinado (no puede tener una única solución)
Si tomamos la matriz de coeficientes es 2x3 tomamos los menores de orden 2 para ver si rango
1 2
3 6 su determinante es 0 tiene rango 1
2 k
6 8 su determinante es 16-6k tiene rango 2 en k distinto de 8/3, y rango 1 en k=8/3
por lo que la matriz de coeficientes tiene tango 2 en k distinto de 8/3, y rango 1 en k=8/3
Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada
y tomando el mayor de orden 2
1 6
3 4 su determinante es -14 distinto de 0, por lo que tiene rango 2
En los valores de K donde el rango de la matriz ampliada sea mayor que la de coeficientes el sistema es incompatible (no tiene solución) en k=8/3 no tiene solución.
En el resto es compatible indeterminado.
d)
ka+2ab+3Kc=4K
a+b+c=0
2a-b+c=1
Tienes algún error, ya que no es un sistema de ecuaciones lineales, ya que en la primera esta el término 2ab que no es lineal (tiene grado 2)
Por lo que no lo puedes resolver así.
