Progresiones Armónicas

Una progresión armónica es una sucesión de números tales que sus recíprocos forman una progresión aritmética.
Se llaman progresiones armónicas porque cada término es la media armónica entre el anterior y el siguiente.
1/ak = (1/ak-1+ 1/ak+1)/2
1.- 9 termino de 12, 8, 6,..... 
si tomamos sus reciprocos 1/12, 1/8, 1/6...  debe ser una progresión aritmética
por lo que d= 1/8-1/12=1/24
el termino 9º de la progresión aritmética será b9=1/12+8·1/24=5/12
por lo que el 9º termino de la progresión armónica será a9=1/b9=12/5
2.- 7 termino de 0.6, 0.4, 0.3,.... 
si tomamos sus reciprocos 1/0.6, 1/0.4, 1/0.3...  debe ser una progresión aritmética
por lo que d= 1/0.4-1/0.6=5/6,
el termino 7º de la progresión aritmética será b7=1/0.6+6·5/6=20/3
 por lo que el 7º termino de la progresión armónica será a7=1/b7=3/20
3.- 12 termino de 3, 3/2, 1,......
si tomamos sus reciprocos 1/3, 2/3, 1...  debe ser una progresión aritmética
por lo que d= 2/3-1/3=1/3
el termino 12º de la progresión aritmética será b12=1/3+11·1/3=4
por lo que el 12º termino de la progresión armónica será a12=1/b12=1/4