Sistema de ecuaciones
Hola... Otro problema:
Demostrar que si un sistema tiene más de una solución, entonces tiene infinitas soluciones...
Demostrar que si un sistema tiene más de una solución, entonces tiene infinitas soluciones...
1 Respuesta
Respuesta de canalrev
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Si un sistema Ax = b tiene más de una solución entonces tiene infinitas soluciones.
Demostración:
Si x0; x1 2 pertenecientes a Mnx1(matrices columna)) son dos soluciones distintas del sistema, entonces, para cualesquiera c, d pertenecientes a R con c+d = 1, se cumple que x = c·x0+d·x1 pertenece a Mnx1 es también solución:
Ax = A(c·x0+d·x1)= c·Ax0 + d·Ax1 = c·b + d·b = (c + d)b = b
Luego si el sistema tiene dos soluciones distintas, entonces tiene infinitas soluciones.
Demostración:
Si x0; x1 2 pertenecientes a Mnx1(matrices columna)) son dos soluciones distintas del sistema, entonces, para cualesquiera c, d pertenecientes a R con c+d = 1, se cumple que x = c·x0+d·x1 pertenece a Mnx1 es también solución:
Ax = A(c·x0+d·x1)= c·Ax0 + d·Ax1 = c·b + d·b = (c + d)b = b
Luego si el sistema tiene dos soluciones distintas, entonces tiene infinitas soluciones.
Hola... creo que no me quedo claro el final de tu demostración, como deduces que si tiene dos soluciones, entonces tiene infinitas soluciones. ¿Quieres decir que puedo tomar cualesquiera dos soluciones?
Puedes tomar cualquier combinación lineal de las dos que tienes (x0 y x1) siempre que la suma de los coeficientes sea 1.
c·xo+d·x1 es solución siempre que c+d=1
Por lo que hay infinitas, tantas como combinaciones de c y de que cumplan la condición de sumar 1.
Que es lo que está demostrado, ya que en la condición de las construcción de por es lo que desarrollo.
c·xo+d·x1 es solución siempre que c+d=1
Por lo que hay infinitas, tantas como combinaciones de c y de que cumplan la condición de sumar 1.
Que es lo que está demostrado, ya que en la condición de las construcción de por es lo que desarrollo.
